Heronove trojke

Za trojku $(a, b, c)$ prirodnih brojeva kazemo da je Heronov ako trougao cije stranice imaju duzine a, b i c ima celobrojnu povrsinu. Smatracemo podudarnim Heronove trojke koje se dobijaju jedna iz druge permutacijom

Neki primjeri Heronovih trojki su: $(3, 4, 5)$, $(5,5,6)$, $(13,14,15)$, $(11,13,20)$

Neka je $(a, b, c)$

Heronova trojka koja je aritmeticki niz

Heronova trojka koja je ujedno i rastuci aritmetićki niz.

Tada je $a=b-d$ ¡ $c=b+d$, $d \in N$, pa je prema Heronovom obrascu

$P={\sqrt {{\frac {3b}{2}}*{\frac {b-2d}{2}}*{\frac {b}{2}}*{\frac {2b+2d}{2}}}}=>3b^{2}(b^{2}-4d^{2}=16P^{2}$

Smjenom $P={\frac {1}{2}}bh_{b}$ i skracivanjem sa $b^2$ dobijamo

$3b^{2}(b^{2}-4d^{2})=4{h_{b}}^{2}$

Kako je $b$ parno $b=2m$ za $m \in N$ dobijamo

$3(m^{2}-d^{2})=4{h_{b}}^{2}$

Da bi rjesenja bila iz skupa prirodnih brojeva mora biti

Za $k = 1$

$(m-d)(m+d)=3$

$m-d=1$ $m+d=3$

pa je

$m = 2$ , $d=1$ i $b=4$. Dobili smo trojku ($3,4,5)$ koja je osnovna Pitagorina trojka.

Za $k=2$ dobijamo trojku ($6,8,10)$ ujedno i Pitagorina

Za $k=3$ dobijamo trojku ($9,12,15)$ i $(5,28,41)$

Za $k=4$ dobijamo trojku ($15,26,37)$, $(12,16,20)$ i $(13,14,15)$

Prave Heronove trojke

Ako su brojevi u Heronovoj trojci uzajamno prosti i ako ne cine Pitagorinu trojku, kazemo j da je Heronova trojka prava. Odredimo uslove pri kojima se iz rjesenja jednacine

$m^{2}-d^{2}=3k^{2}$ za $k \in N$ dobijaju prave Heronove trojke.

U slucaju da je vrijednost izraza $m^{2}-d^{2}$ neparno $NZD(m-d,m+d)=1$

_U slucaju da je vrijednost izraza $m^{2}-d^{2}$ parno $NZD(m-d,m+d)=2$

Neka je $NZD(m-d,m+d)=p>=2$

Ako je $p$ parno onda je $p=2i$ za $i \in N$ i $i>1$

$m-d=2iq$

$m-d=2ir$ za $r>q$ i $r,q\in N$

$b=2i(q+r)$

$d=i(r-q)$

$a=b-d=i(3q+r)$

$c=b+d=i(q+3r)$

Brojevi $a$, $b$, $c$, $d$ nisu uzajamno prosti

Heronove trojke sa uzastopnim clanovima

Poseban slucaj jednacine

$m^{2}-d^{2}=3k^{2}$ za $k \in N$ se dobija za $d=1$. On se odnosi na Heronove trojke koje cine aritmeticki niz sa razlikom 1, tj. niz tri uzastopna prirodna broja. U tom slucaju se dobija se