Za trojku prirodnih brojeva kazemo da je Heronov akotrougao cije stranice imaju duzine a, b i c ima cjelobrojnu povrsinu. Smatracemo podudarnim Heronove trojke koje se dobijaju jedna iz druge permutacijom
Neki primjeri Heronovih trojki su: , , ,

Heronova trojka koja je aritmeticki niz[edit | edit source]

Neka je Heronova trojka koja je ujedno i rastuci aritmetićki niz.
Tada je ¡ , , pa je prema Heronovom obrascu
Smjenom i skracivanjem sa dobijamo
Kako je parno za dobijamo
Da bi rjesenja bila iz skupa prirodnih brojeva mora biti
Za
pa je
, i . Dobili smo trojku ( koja je osnovna Pitagorina trojka.
Za dobijamo trojku ( ujedno i Pitagorina
Za dobijamo trojku ( i
Za dobijamo trojku (, i

Prave Heronove trojke[edit | edit source]

Ako su brojevi u Heronovoj trojci uzajamno prosti i ako ne cine Pitagorinu trojku, kazemo j da je Heronova trojka prava. Odredimo uslove pri kojima se iz rjesenja jednacine
za dobijaju prave Heronove trojke.
U slucaju da je vrijednost izraza neparno
U slucaju da je vrijednost izraza parno
Neka je
Ako je parno onda je za i
za i
Brojevi , , , nisu uzajamno prosti

Heronove trojke sa uzastopnim clanovima[edit | edit source]

Poseban slucaj jednacine
za se dobija za . On se odnosi na Heronove trojke koje cine aritmeticki niz sa razlikom 1, tj. niz tri uzastopna prirodna broja. U tom slucaju se dobija se
Osnovno rjesenje je , jer je
za
Kako je imamo
sto je uslov i daje niz Heronovih trojki (a_n, b_n, c_n) ciji su clanovi tri uzastopna prirodna broja.
U sljedecoj tabeli dato je prvih pet Heronovih trojki definisanih na ovaj nacin


n
1 3 4 5 6
2 13 14 15 84
3 51 52 53 1170
4 193 194 195 16296
5 723 724 725 226974

Rekurentna formula za niz povrsina Heronovih trouglova[edit | edit source]

Posmatrajuci poslednju kolonu prethodne tablice, empirijskom indukcijom moze se zakljuciti da vazi formula
Neka je i srednja po velicini stranica n-tog Heronovog trougla kome su duzine stranica tri uzastopna prirodna broja. Primjenom Heronove formule moze se izraziti niz povrsina tih trouglova u funkciji od .
Nije tesko utvrditi da je
Za dobijamo

Kategorija:Teorija brojeva

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.