FANDOM


Za trojku $ (a, b, c) $ prirodnih brojeva kazemo da je Heronov ako trougao cije stranice imaju duzine a, b i c ima cjelobrojnu povrsinu. Smatracemo podudarnim Heronove trojke koje se dobijaju jedna iz druge permutacijom
Neki primjeri Heronovih trojki su: $ (3, 4, 5) $, $ (5, 5, 6) $, $ (13, 14, 15) $, $ (11, 13, 20) $

Heronova trojka koja je aritmeticki nizEdit

Neka je $ (a, b, c) $ Heronova trojka koja je ujedno i rastuci aritmetićki niz.
Tada je $ a = b-d $ ¡ $ c = b + d $, $ d \in N $, pa je prema Heronovom obrascu
$ P = \sqrt{\frac{3b}{2}* \frac{b-2d}{2} * \frac{b}{2} * \frac{2b+2d}{2} } = > 3b^2(b^2-4d^2=16 P^2 $
Smjenom $ P =\frac{1}{2}bh_b $ i skracivanjem sa $ b^2 $ dobijamo
$ 3b^2(b^2-4d^2) =4{h_b}^2 $
Kako je $ b $ parno $ b=2m $ za $ m \in N $ dobijamo
$ 3(m^2- d^2)=4{h_b}^2 $
Da bi rjesenja bila iz skupa prirodnih brojeva mora biti
Za $ k=1 $
$ (m-d)(m+d) =3 $
$ m-d =1 $
$ m+d = 3 $
pa je
$ m=2 $ , $ d=1 $ i $ b=4 $. Dobili smo trojku ($ 3,4,5) $ koja je osnovna Pitagorina trojka.
Za $ k=2 $ dobijamo trojku ($ 6,8,10) $ ujedno i Pitagorina
Za $ k=3 $ dobijamo trojku ($ 9,12,15) $ i $ (5,28,41) $
Za $ k=4 $ dobijamo trojku ($ 15,26,37) $, $ (12,16,20) $ i $ (13,14,15) $

Prave Heronove trojkeEdit

Ako su brojevi u Heronovoj trojci uzajamno prosti i ako ne cine Pitagorinu trojku, kazemo j da je Heronova trojka prava. Odredimo uslove pri kojima se iz rjesenja jednacine
$ m^2-d^2 = 3k^2 $ za $ k\in N $ dobijaju prave Heronove trojke.
U slucaju da je vrijednost izraza $ m^2-d^2 $ neparno $ NZD(m-d,m+d) =1 $
U slucaju da je vrijednost izraza $ m^2-d^2 $ parno $ NZD(m-d,m+d) =2 $
Neka je $ NZD(m-d,m+d)= p > =2 $
Ako je $ p $ parno onda je $ p=2i $ za $ i\in N $ i $ i > 1 $
$ m-d=2iq $
$ m-d=2ir $ za $ r > q $ i $ r,q \in N $
$ b=2i(q+r) $
$ d=i(r-q) $
$ a=b-d=i(3q +r) $
$ c=b+d=i(q+3r) $
Brojevi $ a $, $ b $, $ c $, $ d $ nisu uzajamno prosti

Heronove trojke sa uzastopnim clanovimaEdit

Poseban slucaj jednacine
$ m^2-d^2 = 3k^2 $ za $ k\in N $ se dobija za $ d= 1 $. On se odnosi na Heronove trojke koje cine aritmeticki niz sa razlikom 1, tj. niz tri uzastopna prirodna broja. U tom slucaju se dobija se
$ m^2-1=3k^2 $
Osnovno rjesenje je $ (m_1,l_1)=(2,1) $, jer je $ (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{2})=1 $
$ (m_n-k_n\sqrt{3})(m_n+k_n\sqrt{3})=(2-\sqrt{3})^n(2+\sqrt{3})^n =1 $ za $ n\in N $
$ m_n=2^n + \binom{n}{2}2^{n-2}(\sqrt{3})^2+ \binom{n}{4}2^{n-4}(\sqrt{3})^4+... $
Kako je $ b_n=2m_n $ imamo
$ b_n= \sum_{i=0}^n (1+(-1)^i)*\binom{n}{i}*2^{n-i}*3^{i/2}= (2+\sqrt{3})^n(2-\sqrt{3})^n $
sto je uslov $ a_n = b_n-1 $ i $ c_n = b_n+1 $ daje niz Heronovih trojki (a_n, b_n, c_n) ciji su clanovi tri uzastopna prirodna broja.
U sljedecoj tabeli dato je prvih pet Heronovih trojki definisanih na ovaj nacin


n $ a_n $ $ b_n $ $ c_n $ $ O_n $
1 3 456
2 13 14 1584
3 51 52 531170
4 193 194 19516296
5 723 724 725226974

Rekurentna formula za niz povrsina Heronovih trouglovaEdit

Posmatrajuci poslednju kolonu prethodne tablice, empirijskom indukcijom moze se zakljuciti da vazi formula
$ P_{n+2}=14P_{n+1}-P_n $
Neka je $ n \ N $ i $ b_n $ srednja po velicini stranica n-tog Heronovog trougla kome su duzine stranica tri uzastopna prirodna broja. Primjenom Heronove formule moze se izraziti niz povrsina $ P_n $ tih trouglova u funkciji od $ b_n $.
Nije tesko utvrditi da je
$ P_n=\frac{\sqrt{3}}{4}b_n\sqrt{{b_n}^2 - 4} $
Za $ b_n=(2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n $ dobijamo

$ P_n=\frac{\sqrt{3}}{4}(( 7+4 \sqrt{3})^n-(7- 4 \sqrt{3})^n )) $

$ 14P_{n+1}-P_n =14 * \frac{\sqrt{3}}{4}(( 7+4 \sqrt{3})^{n+1} -(7- 4 \sqrt{3})^{n+1} - \frac{\sqrt{3}}{4}(( 7+4 \sqrt{3})^n-(7- 4 \sqrt{3})^n )= $ $ \frac{\sqrt{3}}{4}(( 7+4 \sqrt{3})^{n+2}-(7- 4 \sqrt{3})^{n +2} ) $

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.