Dva broja između 2 i 200 su pomnožena i šapnuta na uvo Gospodinu Proizvodu, zatim sabrana i šapnuta na uvo Gospodinu Sumi. Gospoda su inače savršeni logičari.

Gospodin Proizvod kaže: Ja ne znam koji su brojevi. Gospodin Suma kaže: Ni ja, ali sam već znao da ti ne znaš. Gospodin Proizvod kaže: Aha, ok, sad znam koji su. Gospodin Suma kaže: Sad znam i ja.

Objašnjenje:

Iz činjenice da Gospodin Proizvod ne zna od kojih je brojeva sastavljen, zaključujemo da on nije proizvod dva prosta broja, dakle ne može se napisati u obliku (gdje su a i b prosti brojevi različiti od 1). Ovo slijedi iz osobine da se svaki cijeli broj jednoznačno može napisati u obliku proizvoda konačno mnogo prostih brojeva (različitih od 1). Dakle, on je sastavljen iz 3 ili više prostih brojeva (jer da ih je dva, znao bi tačno koji su). Zaključak je, dakle, da od traženih brojeva sigurno nisu oba prosta, dakle jedan može biti, ali nikako oba.

Sada se postavlja pitanje kako to da je Gospodin Suma već unapred znao da Gospodin Proizvod ne zna od ćega je sastavljen, ili drugim riječima, kako je Gospodin Suma znao da oba tražena broja nisu prosta. Stvar je u tome da, izuzevši dvojku koja je uslovom i isključena, svi prosti brojevi su neparni, a samim tim je i paran zbir bilo koja dva prosta broja (ne računajući dvojku). Kako je Gospodin Suma svjestan činjenice da dvojka ne može biti traženi broj, on je mogao da zna da oba tražena broja nisu prosta samo ako je njihov zbir neparan. Zaključujemo, dakle, da je zbir tražena dva broja neparan.

A ako je zbir neparan, to znaći da je, od dva broja koja ulaze u zbir, jedan paran, a drugi neparan (kad bi oba bila parna ili oba neparna, i zbir bi bio paran).

Kako je sada Gospodin Proizvod saznao koji brojevi ga sačinjavaju samo i isključivo iz Gospodin Sumine zadnje izjave?? Ili drugim riječima, kako to da je Gospodin Proizvod saznao svoje činioce koristeći samo saznanje da je od dva tražena broja jedan paran a drugi neparan? To je mogao samo u slučaju da je on sam sastavljen iz dvojke i još tačno dva prosta broja (i nijednog više) Zaključujemo da je proizvod dva tražena broja oblika (gde su p i q prosti brojevi različiti od 1).

To dalje znači da je njihova suma oblika S=2p+q (gde q mora da bude različito od 2). Sada Gospodin Suma kaže da je i on saznao od čega je sastavljen. Drugim riječima, samo saznanje da je oblika 2p+q bilo mu je dovoljno da sazna svoje činioce. Kako je bio u stanju to da uradi? Jedino ako je suma bila toliko velika da dozvoljava samo najveće moguće proste brojeve koje ograničenje zadatka dopušta. Dakle, za p treba naći najveći prost broj manji od 100 (zato što se poslije množi sa 2), što je 97, a za q treba naći najveći prost broj manji od 200, što je 199.

Zbog toga su 194 i 199 traženi brojevi.

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.