Funkcije

Neka su zadana 2 skpa D i K.   Postupak kojim se svakom elementu $x \in D$ pridruzi tacno jedan element $y\in K$, zove se funkcija. Skupove D i K nazivamo domena i kodomena.

Funkciju zapisujemo

$y=f(x)(x\in D\wedge y\in K)$

Za funkcije f i g kazemo da su jednake ako su im jednake domene, jednake kodomene i ako je

$f(x)=g(x)$

Neka je $I\subset D$ (D domena funkcije $f(x)$).

Funkcija strogo raste ako vrijedi

$(\forall x_{1},x_{2}\in D,x_{1}<x_{2})(f(x_{1}<f(x_{2}))$

Funkcija raste ili neopada raste ako vrijedi

$(\forall x_{1},x_{2}\in D,x_{1}\leq x_{2})(f(x_{1}\leq f(x_{2}))$

Funkcija strogo opada ako vrijedi

$(\forall x_{1},x_{2}\in D,x_{1}<x_{2})(f(x_{1}>f(x_{2}))$

Funkcija opada ili neraste ako vrijedi $(\forall x_{1},x_{2}\in D,x_{1}<x_{2})(f(x_{1}\geq f(x_{2}))$

Funkcija f je konstanta na intervalu I ako vrijedi

$(\forall x_{1},x_{2}\in D,x_{1}<x_{2})(f(x_{1}=f(x_{2}))$

Funkcija f je monotona na intervalu I ako je ili rastuca ili opadajuca na tom intervalu.

Neka su

$f:D_{f}\rightarrow R$ i $g:D_{g}\rightarrow R$ funkcije takve da je slika $I_{f}$ sadrzana u domeni $D_{g}$.

Definisimo funkciju $g \circ f$: $D_{f}\rightarrow R$ na sljedeci nacin

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$

Ovako definisana funkcija naziva se slaganje ili kompozicija funkcija f i g.

Funkcija f je injekcija ako vrijedi

$x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

Funkcija f je sirjekcija ako za svaki $y\in K$ postoji $x \in D$ takav da je $f(x)=y$, tj. ako je slika $I_{f}$ jednaka kodomeni.

Funkcija f je bijekcija ako je injekcija i sirjekcija.

Neka je $f:D_{f}\rightarrow K$ Tada za svaki $y \in D$ postoji $x\in D_{f}$ takav da je $f(x)=y$

Definisimo funkciju

$f^{(-1)}:K\rightarrow D$ ovako $f^{(-1)}(y)=x$

$f^{(-1)}(f(x))=x$ ili $f^{(-1)}(f(y))=y$

Ovako definisana funkcija naziva se inverzna funkcija od f.

$D_{f^{-1}}=K$

Funkcija $f(x)=6(x-5)$ zadana je na skupu R odnosno $D=R$ .

$f(x)=6(x-5)=0$

$x-5=0$

$x=5$

$f(x)={\sqrt {4-x}}$

Definisana je za $(4-x)\geq 0$

$4\geq x$

$-x\geq -4$

$x\leq 4$

Medju funkcijama koje su date formulom vaznu ulogu imaju elementarne funkcije.

Podjela funkcij

1. polinomi
2. racionalne funkcije
3. eksponencijalne funkcije
4. logaritamske funkcije
5. potencijalne funkcije
6.  trigonometrijske funkcije
7. ciklometrijske funkcije

Elementarne funkcije su funkcije koje se mogu dobiti iz osnovnih elementarnih funkcija pomoću konacnog broja aritmetickih operacija $(+,-,*,:)$ i konacnog broja kompozicija elementarnih funkcija. Osim osnovnih elementarnih funkcija elementarne funkcije su i

1. hiperbolne funkcije,
2. area funkcije.

Algebarske funkcije su one elementarne funkcije koje su date pomocu kompozicije racionalnih funkcija, potenciranja s racionalnim eksponentom i sa četiri osnovne raćunske operacije. Transcedentne funkcije su one elementarne funkcije koje nisu algebarske. Tu spadaju

1. eksponencijalne funkcije
2. logaritamske funkcije
3. trigonometrijske funkcije
4. ciklometrijske hiperbolne
5. area funkcije

Polinomi

Polinomi su funkcije oblika

$p_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$ za $n \in N$, $a_{i}\in R$ i $0\leq i\leq n$ koja

$p_{n}:R\to R$ gdje je

$a_i$ – koeficijenti clanova polinoma polinom n - tog stepena

$a_n \ne 0$ polinom n – tog stepena

$p_{n}(x)=a_{0}$ i $a_{0}\neq 0$ polinom nultog stepena, tj. konstanta

Nultacka funkcije je broj $x_0$ za koji funkcija ima vrijednost nula, tj f(x_0)=0 Nultacke polinoma $p_n(x)$ nsu one vrijednosti od x za koje vrijedi $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}=0$

Osobine polinoma

Dva polinoma po varijabli x identicno su jednaka ako i samo ako su koeficienti jednako visokih potencija medjusobno jednaki. Svaki polinom n-tog stepena moze se rastaviti u proizvod od n linearnih faktora $p_{n}(x)=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{n})....(x-x_{0})$ gdje su $x_1,x_2,...,x_n$ nultacke tog polinoma koje mogu biti realni i kompleksni brojevi. Ako su neki od njh medjusobno jednaki, govorimo o visestrukim nultackama.

Za kompleksne nultacke vrijedi da dolaze u paru, tj. ako je $x=a+ib$ nultacka polinoma onda je i konjugirano kompleksni broj $x=a+ib$ nultacka tog polinoma i ima istu visestrukost.

Primjer faktorizacije polinoma

$p_{3}(x)=x^{3}+x^{2}-4x-4=x(x+1)-4(x+1)=(x+1)(x^{2}-4)=(x+1)(x-2)(x+2)$

Racionalne funkcije

Racionalne funkcije su funkcije oblika

$f(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$

gdje su $P_n(x)$ i $Q_m(x)$ polinomi stepena $n$, odnosno $m$, koji nemaju zajedničkih nultacaka.

1. Za $n<m$ je prava racionalna funkcija
2. Za $n \ge m$ dijeljenjem brojnika s nazivnikom funkciju mozemo napisati u obliku polinoma i prave racionalne funkcije.

• Domena: Skup svih realnih brojeva osim nultacaka polinoma $Q_m(x)$ u nazivniku.
• Kodomena: R
• Nultacke funkcije su nultacke polinoma u brojniku, tj. rjesenja jednacine . $P_n(x)$
• Nultacke polinoma u nazivniku nazivamo polovima racionalne funkcije.Prema tome da li se radi o jednostrukoj ili visestrukoj nultacki funkcije (polu), govorimo o nultacki (polu) prvog ili viseg reda. Nultacke (polovi) funkcije mogu biti parnog i neparnog reda, zavisno o tome dali im je kratnost paran ili neparan broj.

Crtanje grafa racionalne funkcije

Odrediti nultacke funkcije $f(x)$. U okolini nultacke parnog (neparnog) reda funkcija ne mijenja (mijenja) predznak. Odrediti polove funkcije $f(x)$ i u njima nacrtati vertikalne prave ( vertikalne asimptote) funkcije.U okolini pola parnog (neparnog) reda funkcija ne mijenja (mijenja) predznak.

Rastavljanje na parcijalne razlomke

Rastaviti racionalnu funkciju $f(x)$ na parcijalne razlomke znaci prikazati je kao zbir jednostavnih racionalnih funkcija npr. $\frac{A}{(x-x_1)^n}$ za $(n \ge 1)$ i $\frac{Ax+B}{(x^2+ax+b)^n}$ za $(n \ge 1)$ gdje je $(x-x_1)$ linearan faktor a $(x^{2}+ax+b)$ kvadratni faktor s negativnom diskriminantom, polinoma $Q_m(x)$

Primjer

${\frac {2x^{2}+3x-5}{(x+2)(x-1)(x-3)}}={\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{x-1}}+{\frac {C}{x-3}}=$ $/$$*(x+2)(x-1)(x-3)$

$2x^{2}+3x-5=A(x-1)(x-3)+B(x+2)(x-3)+C(x-1)(x+2)$

$2x^{2}+3x-5=A(x^{2}-4x+3))+B(x^{2}-x-6))+C(x^{2}+x-2))$

$2x^{2}+3x-5=x^{2}(A+B+C)+x(-4A-B+C)+(3A-6B-2C)$

${\begin{cases}A+B+C=2\\-4A-B+C=3\\3A-6B-2C=-5\end{cases}}$ $=>$$A={\frac {19}{15}}$ , $B={\frac {-2}{3}}$, $C={\frac {7}{5}}$

odnosno

${\frac {2x^{2}+3x-5}{(x+2)(x-1)(x-3)}}={\frac {\frac {19}{15}}{x+2}}+{\frac {-{\frac {2}{3}}}{x-1}}+{\frac {\frac {7}{5}}{x-3}}$

Izvor

http://www2.geof.unizg.hr/~jbeban/M1/07.pdf Kategorija:Funkcije