Neka su zadana 2 skpa D i K.   Postupak kojim se svakom elementu pridruzi tacno jedan element , zove se funkcija. Skupove D i K nazivamo domena i kodomena.

Funkciju zapisujemo

Za funkcije f i g kazemo da su jednake ako su im jednake domene, jednake kodomene i ako je

Neka je (D domena funkcije ).

Funkcija strogo raste ako vrijedi

Funkcija raste ili neopada raste ako vrijedi

Funkcija strogo opada ako vrijedi


Funkcija opada ili neraste ako vrijedi

Funkcija f je konstanta na intervalu I ako vrijedi

Funkcija f je monotona na intervalu I ako je ili rastuca ili opadajuca na tom intervalu.

Neka su

i funkcije takve da je slika sadrzana u domeni .

Definisimo funkciju : na sljedeci nacin

Ovako definisana funkcija naziva se slaganje ili kompozicija funkcija f i g.

Funkcija f je injekcija ako vrijedi

Funkcija f je sirjekcija ako za svaki postoji takav da je , tj. ako je slika jednaka kodomeni.

Funkcija f je bijekcija ako je injekcija i sirjekcija.

Neka je Tada za svaki postoji takav da je


Definisimo funkciju

ovako


ili

Ovako definisana funkcija naziva se inverzna funkcija od f.

Funkcija zadana je na skupu R odnosno .


Definisana je za

Medju funkcijama koje su date formulom vaznu ulogu imaju elementarne funkcije.

Podjela funkcij[uredi | uredi izvor]

  1. polinomi
  2. racionalne funkcije
  3. eksponencijalne funkcije
  4. logaritamske funkcije
  5. potencijalne funkcije
  6.  trigonometrijske funkcije
  7. ciklometrijske funkcije

Elementarne funkcije su funkcije koje se mogu dobiti iz osnovnih elementarnih funkcija pomoću konacnog broja aritmetickih operacija i konacnog broja kompozicija elementarnih funkcija. Osim osnovnih elementarnih funkcija elementarne funkcije su i

  1. hiperbolne funkcije,
  2. area funkcije.

Algebarske funkcije su one elementarne funkcije koje su date pomocu kompozicije racionalnih funkcija, potenciranja s racionalnim eksponentom i sa četiri osnovne raćunske operacije. Transcedentne funkcije su one elementarne funkcije koje nisu algebarske. Tu spadaju

  1. eksponencijalne funkcije
  2. logaritamske funkcije
  3. trigonometrijske funkcije
  4. ciklometrijske hiperbolne
  5. area funkcije

Polinomi[uredi | uredi izvor]

Polinomi su funkcije oblika

za , i koja

gdje je

– koeficijenti clanova polinoma polinom n - tog stepena

polinom n – tog stepena

i polinom nultog stepena, tj. konstanta

Nultacka funkcije je broj za koji funkcija ima vrijednost nula, tj f(x_0)=0 Nultacke polinoma nsu one vrijednosti od x za koje vrijedi

Osobine polinoma[uredi | uredi izvor]

Dva polinoma po varijabli x identicno su jednaka ako i samo ako su koeficienti jednako visokih potencija medjusobno jednaki. Svaki polinom n-tog stepena moze se rastaviti u proizvod od n linearnih faktora gdje su nultacke tog polinoma koje mogu biti realni i kompleksni brojevi. Ako su neki od njh medjusobno jednaki, govorimo o visestrukim nultackama.

Za kompleksne nultacke vrijedi da dolaze u paru, tj. ako je nultacka polinoma onda je i konjugirano kompleksni broj nultacka tog polinoma i ima istu visestrukost.

Primjer faktorizacije polinoma

Racionalne funkcije[uredi | uredi izvor]

Racionalne funkcije su funkcije oblika

gdje su i polinomi stepena , odnosno , koji nemaju zajedničkih nultacaka.

  1. Za je prava racionalna funkcija
  2. Za dijeljenjem brojnika s nazivnikom funkciju mozemo napisati u obliku polinoma i prave racionalne funkcije.
  • Domena: Skup svih realnih brojeva osim nultacaka polinoma u nazivniku.
  • Kodomena: R
  • Nultacke funkcije su nultacke polinoma u brojniku, tj. rjesenja jednacine .
  • Nultacke polinoma u nazivniku nazivamo polovima racionalne funkcije.Prema tome da li se radi o jednostrukoj ili visestrukoj nultacki funkcije (polu), govorimo o nultacki (polu) prvog ili viseg reda. Nultacke (polovi) funkcije mogu biti parnog i neparnog reda, zavisno o tome dali im je kratnost paran ili neparan broj.
Crtanje grafa racionalne funkcije

Odrediti nultacke funkcije . U okolini nultacke parnog (neparnog) reda funkcija ne mijenja (mijenja) predznak. Odrediti polove funkcije i u njima nacrtati vertikalne prave ( vertikalne asimptote) funkcije.U okolini pola parnog (neparnog) reda funkcija ne mijenja (mijenja) predznak.

Rastavljanje na parcijalne razlomke

Rastaviti racionalnu funkciju na parcijalne razlomke znaci prikazati je kao zbir jednostavnih racionalnih funkcija npr. za i za gdje je linearan faktor a kvadratni faktor s negativnom diskriminantom, polinoma

Primjer

, ,

odnosno

Izvor[uredi | uredi izvor]

http://www2.geof.unizg.hr/~jbeban/M1/07.pdf

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.