Ovdje je dato objasnjenje Eulerove formule u oblasti kompleksne analize

Eulerova formula je dobila ime po svajcarskom matematicaru Leonardu Euleru koji povezuje trigonometrijske funkcije sa kompleksnim eksponentima, a tvrdi da za bilo koji realni broj x vazi,

gde je osnova prirodnog logaritma, i imaginarna jedinica, a cos i sin trigonometrijske funkcije (ovdje se podrazumeva da se pri izracunavanju sinusa i kosinusa ugao izražava u radijanima, a ne u stepenima). Formula važi i ako je kompleksan broj, pa, zbog toga, neki autori pod Eulerovom formulom podrazumevaju njenu uopštenu kompleksnu varijantu. Ričard Fajnman je nazvao Eulerovu formulu „našim draguljem“ i „najznačajnijom formulom u matematici“

Istorija[uredi | uredi izvor]

Bernoulli je oko 1702. godine zapisao

. i

Navedene jednakosti daju nam uvid u pojam kompleksnih logaritmima. Bernoulli, međutim, nije ocijenio cjelinu. Njegovo dopisivanje s Eulerom (koji je također poznavao jednakost) pokazuje da nije naslutio dubinu matematičke pozadine. U međuvremenu je Roger Cotes 1714. godine otkrio da je

On nije uočio činjenicu da kompleksni logaritmi mogu imati beskonačno mnogo vrijednosti i to posljedično periodičnosti trigonometrijskih funkcija. Oko 1740. Euler je obratio pažnju na eksponencijalne funkcije umjesto logaritamskih i izveo formulu koja je nazvana njemu u čast. Formula

je objavljena 1748. godine i Eulerov dokaz formule je zasnovan na jednakosti beskonačnih redova obje strane izvoda.U to doba niko nije uočio geometrijsku interpretaciju formule, kao pogled na kompleksne brojeve predstavljene u kompleksnoj ravni. Tu vezu je ustanovio Caspar Wessel pedesetak godina kasnije.

Primjene u teoriji kompleksnih brojeva[uredi | uredi izvor]

Eulerova formula može se predstaviti na način da funkcija rotira oko koordinantnog početka kompleksne ravni pri čemu x prima vrijednosti iz domene realnih brojeva. U tom smislu je ugao što između duži, koja spaja koordinantni početak kompleksne ravnii s odgovarajućom točkom na jediničnoj kružnici, i pozitivne realne ose. Pri tome duž( vektor u kompleksnoj ravnini), rotira smjerom suprotno od smjera kazaljki na satu, a veličina ugla ourađava se u radijanima. Izvorni dokaz se zasniva na razvoju Taylorovih redova za eksponencijalnu funkciju i periodičnih funkcija i , gdje je kompleksni broj, a realan broj. Isti dokaz pokazuje da formula vrijedi i za bilo koji kompleksan broj.

Eulerova formula omogućava prelaz iz prikaza kompleksnog broja u kartezijevim koordinatama u prikaz u polarnim koordinatama. Iskaz kompleksnog broja u polarnim koordinatama pojednostavljuje složenije operacije s kompleksnim brojevima kao što su, množenje i stepenovanje, a iz razloga što se bilo koji kompleksan broj može zapisati kao

gdje je

realni dio
imaginarni dio
apsolutna vrijednost ili veličina od
) zadan u radijanima.

Veza sa trigonometrijom[uredi | uredi izvor]

Eulerova formula je veza između analize i trigonometrija, i daje tumačenje sinus i kosinus funkcija preko eksponencijalne funkcije

Izvode se sabiranjem ili Eulerove formule

rješavanjem po sin ili cos funkciji.

Ove formule mogu poslužiti kao definicije trigonometrijskih funkcija kompleksnog argumenta x.

Za imamo

Kompleksne eksponencijalne funkcije znatno pojednostavljuju trigonometriju jer je daleko lakše računati s njima nego sa sinusnim, odn. kosinusnim ekvivalentima. Jedan od načina je da se prikaz periodične funkcije jednostavno prikaže pomoću eksponencijalne funkcije.

Primjer

eksponencijalni oblik kompleksnog broja[uredi | uredi izvor]

Preko redova[uredi | uredi izvor]

Preko limesa[uredi | uredi izvor]

Dokazi[uredi | uredi izvor]

Izvori[uredi | uredi izvor]

  1. http://resonanceswavesandfields.blogspot.ba/2007/08/eulers-equation-and-complex-numbers.html
  2. http://fermatslasttheorem.blogspot.ba/2006/02/eulers-formula.html
  3. https://books.google.ba/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
  4. https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Euler_formulas
  5. http://fermatslasttheorem.blogspot.ba/2006/02/eulers-formula.html
  6. https://www.khanacademy.org/math/integral-calculus/sequences-series-approx-calc/maclaurin-taylor/v/euler-s-formula-and-euler-s-identity
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.