Euklidov peti postulat ili postulat paralelnosti je najpoznatiji postulat euklidove geometrije i vijekovima privlači najviše pažnje i izaziva najviše kontroverzi.

Peti postulat je iskaz o geometrijskoj istini koja je evidentna i koja se ne dokazuje. U ovom slučaju se navodi činjenica da postoji paralelizam u prirodi.

Postulat opisuje činjenicu da se kroz tačku van prave može povući samo jedna paralelna prava. U starogrčkoj matematici pojavio se u obliku koji govorie o dvije prave koje presjeca treća prava i sa njima gradi uglove i ako se posmatraju uglovi sa jedne strane tog presjeka i uporede se sa dva prava ugla i ako su manji od dva prava ugla tada se te dvije prave sijeku sa te strane. Ovo sigurno nije jednostavna prezentacija jedne geometrijske činjenice.

Plejferova aksioma paralelnosti[uredi | uredi izvor]

Definicija paralelnih pravi glasi

Dvije prave su paralelne ako pripadaju istoj ravni i pri tom nemaju zajedničkih tačaka.

Egzistenciju paralelnih pravih je lako dokazati koristeći samo prve tri grupe aksioma. Taj zaključak možemo iskazati u obliku sledeće teoreme.

Teorema

Kroz svaku tačku, koja koja ne pripada datoj pravoj, prolazi prava koja joj je paralelna.

Dokaz

Neka je data prava i tačka na njoj. Neka je prava koja sadrži tačku i neka su i tačke prave , takve da važi raspored tačka .Na osnovu aksioma podudarnosti uvijek postoji prava koja sadrži tačku takva da je

U tom slučaju ne postoji tačka , zajednička tačka pravih i , jer bi u trouglu jedan spoljašnji ugao bio podudaran unutrašnjem nesusjednom uglu sto je nemoguće.

Ovu teoremu možemo formulisati i na sledeći način:

Teorema

Ako dvije prave pri presjeku sa trečom obrazuju podudarne naizmjenične ili podudarne saglasne uglove, ili je pak zbir dva suprotna ugla jednak zbiru dva prava ugla, te dvije prave su paralelne.

Prve četiri grupe aksioma pomoću kojih se izgrađuje tzv. apsolutna geometrija nisu dovoljne da se u potpunosti izgradi geometrija razmatranog prostora. Za izgradnju te teorije neophodno je uvesti jednu grupu aksioma. To je peta grupa aksioma geometrije. Tu grupu čini samo jedna aksioma koju je 1797. godine umjesto Euklidovog petog postulata uveo škotski matematičar John Playfair.

Ona se odnosi na paralelne prave te je nazivamo Plejferovom aksiomom paralelnosti.

Plejferova aksioma paralelnosti se po formulaciji razlikuje od Euklidovog petog postulata i predstavlja njegov ekvivalent. Ovaj iskaz posjeduje jednostavniju formulaciju pa ga Playfair uzima za aksiomu, a peti postulat za teoremu.

Plejferova aksioma paralelnosti.

Ako je proizvoljna prava i tačka van nje tada u ravni određenoj pravom i tačkom postoji jedinstvena prava koja sadrži tačku i sa pravom nema zajednickih tačaka.

Za tačku A i i pravu kažemo da imaju Plejferovu osobinu.

Plejfer peti Euklidov postulat smatra teoremom.

Teorema -peti Euklidov postulat

Ako dvije prave u presjeku sa trečom pravom grade suprotne uglove čiji je zbir različit od zbira dva prava ugla, onda se te dvije prave sijeku i to sa one strane sječice sa koje je taj zbir manji od zbira dva prava ugla.

Dokaz

Neka su AB i A'B' dvije prave koje prava p sijeće u tačkama P i P' respektivno. Iz aksioma podudarnosti slijedi da kroz tačku P' prolazi jedna prava AP, takva da je zbir suprotnih uglova, koje ona i prava AB obrazuju sa pravom p, jednak zbiru dva prava ugla. S obzirom na napred izloženo, prava A'B'je paralelna pravoj AB, a s obzirom na aksiomu paralelnosti, to je i jedina prava koja prolazi kroz tačku P', a paralelna je sa pravom AB

Ekvivalenti Plejferove aksiome paralelnosti[uredi | uredi izvor]

  1. Zbir unutrašnjih uglova proizvoljnog trougla jednak je zbiru dva prava ugla, ekvivalentno
  2. Postoji četvorougao kome je zbir unutrašnjih uglova jednak zbiru četiri prava ugla
  3. Zbir unutrašnjih uglova prostog ravnog n--tougla jednak je
  4. Zbir spoljašnjih uglova kod svih vrhova konveksnog prostog ravnog n-tougla jednak je
  5. Četvorougao ABCD je Sakerijev ako važi . Stranica AB i CD su osnovica i protivosnovica. AD i BC su visine trapeza.
  6. Uglovi nalegli na protivosnovici Sakerijevog četverougla su jednaki.
  7. Srednja linija trapeza je zajednička normala osnovice i protivosnovice.
  8. Uglovi na protivosnovici Sakerijevog četvorougla su pravi
  9. Četvorougao sa tri prava ugla u apsolutnoj geometriji naziva se Lambertov.
  10. Svi uglovi Lambertovog četvorougla su pravi.
  11. Svaka prava u ravni oštrog ugla koja je normalna na jedan krak tog ugla siječe drugi krak.
  12. Peti Euklidov postulat i Plejferova aksioma paralelnosti su ekvivalentna tvrđenja.
  13. Dvije paralelne prave presječene trečom grade jednake odgovarajuće uglove
  14. Kroz ma koje tri nekolinearne tačke prolazi krug
  15. U ravni postoje tri kolinearne tačke podjednako udaljene od date prave.
  16. Postoje dva trougla kojima su odgovarajući uglovi jednaki, a odgovarajuće stranice nejednake.
  17. Kroz svaku unutrašnju tačku oštrog ugla uvijek se može povući prava koja sijeće oba kraka tog ugla
Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.