Prirodni brojevi

Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi veci od nule. tj. tu spada bilo koji broj prirodnog niza.

Niz prirodnih brojeva je $1, 2, 3, ....$ Svi clanovi niza prirodnih brojeva cine skup prirodnih brojeva. Taj skup oznacavamo sa

$N={1, 2, 3, ....}$skup prirodnih brojeva.

Skup prirodnih brojeva je beskonacan i prebrojiv. Kada skupu prirodnih brojeva dodamo nulu dobijemo prosireni skup koji oznacavamo sa $N_0$.

Na ovom skupu definisane su operacije sabiranja i mnozenja, dok mnozenje i dijeljenje ne mora biti definisano.

Sabrati dva broja znaci dodati broju m broj n. Koristi se znak $+$

$m+n$

$m + n = n + m$ komutativmost

$m+n+p=(m+n)+p==m+(n+p)$ asocijativnost

U skupu $N$ nema neutralnog elementa niti inverznog za sabiranje. na skupu $N_0$ postoji neutralan element

$m+0=0+m=m$

Pomnoziti dva broja znaci naci broj

$m*n$ mnozenje

$m* n = n* m$ komutativnost

$(m*n)*p=m(n*p)$ asocijativnost

Broj $1$ je neutralan element za mnozenje

$1 * n = n * 1 = n$

U skupu prirodnih brojeva N nema inverznog elementa za mnozenje, ali vrijedi zakon kracenja s brojem $n \neq 0$.

$n * m = n * k => m = k$

Distributivnost mnozenja u odnosu na sabiranje

$p* (m + n) = p* m +p* n$

Operacija oduzimanja $a-b$ definisna je samo za $a > b$.

Na skupu prirodnih brojeva N definisane su relacije uredjenja $\le$ i $\geq$. Odnosno

$m \le n$ ili $m \geq n$

Za dva broja m, n vrijedi $m= n$ $m < n$ ili $m>n$

Primjer:

$4 \neq 5 = > 4 < 5$.

Svaka dva broja su uporediva, tj. uvijek vrijedi $m \le n$ ili $n \leq m$.

Relacija uredjenja je

antisimetricna

$n \leq m$ i $m \le n$ vrijedi ako i samo ako je $n = m$

tranzitivna,

$k \le m$ i $m \le n$ povlaci $k\leq n$

Operacija uredjenja je u skladu sa sabiranjem, tj. za svaki broj m, n

$k \le m= > k + n \le m + n$

i u skladu je s mnozenjem

$k \le m = > k * n \le m *n$

Navedene osobine sabiranja, mnozenja i uredjenja omogucavaju nam da svaki prirodan broj mozemo zapisati u decimalnom sistemu

$1028 = 1*10^3+0*10^2+2*10+8$

u kom mozemo izvoditi racunske operacije sabiranja i mnozenja

Sve osobine prirodnih brojeva, ukljucujuci i operacije sabiranja i mnozenja s navedenim osobinama, mogu se izvesti iz Peanovih aksioma:

1 je prirodan broj.

Svaki prirodan broj $n$ ima tacno jednog sljedbenika $n+1$ skupu prirodnih brojeva.

Uvijek je $n^+ \ne 1$, ( 1 nije sljedbenik nijednog prirodnog broja).

Iz $n^+ = m^+$ proizlazi $n = m$ ( prirodan broj moze biti sljedbenik samo jednog ili nijednog prirodnog broja).

Princip potpune indukcije

Svaki podskup $M$ skupa prirodnih brojeva $N$ koji sadrzi broj 1 i koji sadrzi sljedbenika svakog svog elementa, sadrzi sve prirodne brojeve ( $M=N$)

Operacija sabiranja definisana je induktivno tj.

$m+1 =m^+$

$m + n^+ = (m + n)^+$

Moze se induktivno definisati i mnozenje

$m*1 =m$

$m*n^+ =m*n+ m$