Dužina luka

kriva

Dužina luka krive je granična vrijednost kojoj teži dužina u krivu (u luk krive) upisanih izlomljenih linija kad se broj njihovih pravolinijskih segmenata neograničeno povećava tako da dužina najvećeg segmenta teži nuli. Obim kruga (dužina kružnice) se može smatrati kao granična vrijednost obima upisanih i opisanih konveksnih n-to uglova kada broj njihovih strana (n) neograničeno raste i dužina najveće strane teži nuli. Obim kruga (kružnice) izračunava se po formuli $O=2r\pi$.

Za neprekidne krive pomenuta granična vrijednost uvijek postoji kao konačna ili beskonačna. Ako je ova granična vrijednost konačna, za krivu (njen luk) se kaže da se može rektificirati (da je rektifikabilna). Uslov rektifikabilnosti je ustanovio Žordan.

aproksimacija krive

Ako je kriva u ravni data pravouglim Dekartovim koordinatama, jednačinom  

$y=f(x)$

gdje je

$a \le x \le b$ i ako funkcija  $y=f(x)$ ima neprekidan izvod $f'(x)$  njena dužina se izračunava po formuli:

$l=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$

Ako je kriva data parametarskim jednačinama

$x=x(t), \; y=y(t)$ za $a \le t \le b,\,$ njena dužina je

$l=\int_a^b\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt.$

Dužina glatke krive

$L(f) = \lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^N \bigg|f(t_i) - f(t_{i-1})\bigg|$

$t_i = a + i(b - a)/N = a + i\Delta t$ for $i = 0, 1, \dotsc, N.$

$\lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^N \bigg|f(t_i) - f(t_{i-1})\bigg| = \lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^N \left|\frac{f(t_i) - f(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t = \int_a^b \Big|f'(t)\Big|\ dt.$

$\sum_{i=1}^N \left|\frac{f(t_i) - f(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t - \sum_{i=1}^N \Big|f'(t_i)\Big|\Delta t$$L(f) = \sup\sum_{i=1}^N \bigg|f(t_i) - f(t_{i-1})\bigg|$

$a = t_0 < t_1 < \dots < t_{N-1} < t_N = b$ of $[a,b].$

$\begin{align} L(f) &= \int_a^b \Big|f'(t)\Big|\ dt = \int_a^b \Big|g'(\varphi(t))\varphi'(t)\Big|\ dt \\ &= \int_a^b \Big|g'(\varphi(t))\Big|\varphi'(t)\ dt \quad \text{since }\varphi\text{ must be non-decreasing} \\ &= \int_c^d \Big|g'(u)\Big|\ du \quad \text{using integration by substitution}\\ &= L(g). \end{align}$