Dokaz Pitagorine  teoreme

11) Hofmanov dokaz: (Majnic 1821.g)


slika 10

možemo izvesti na časovima vježbi. Neka je trougao ABC pravougli,a ugao i neka kružnica siječe pravu u tačkama i . Iz sličnosti trouglova: slijdi:

, tj.

, pa je

(, odakle

je , što je i trebalo dokazati.

12) Pored prethodnih evo i Leri Hoenov dokaz, objavljen 1997. godine u „The Mathematics Teacher“ 90.

slika 11

Neka za katete pravouglog trougla važi: b>a i k∙a>b za neki prirodan broj k. Posmatrajmo površinu pravougaonika FCDE.


Imamo da je:

tj

Za k=1 dokaz postaje sličan Gerfildovom.

13. Pogledajmo još jedan dokaz koji se izvodi pomoću sličnosti trouglova (slike 12 i 13).

slika 12 slika 13

;

pa je


slika 14

14) Prethodni dokaz se može primjeniti i u slučaju sličnih trouglova kao na slici 14.

slika 15





15) Takođe prethodni dokaz se može primjeniti i u slučaju sličnih trouglova kao na slici 15.







slika 16

16) Opšti slučaj koji u sebi, kao specijalan slučaj, podrazumjeva i Basharin dokaz izvodimo kao u slučaju 12. (pogledati sliku 16), tj.

 ;

pa je

tj.

Ovaj spektar različitih pristupa kod rješavanja problema ili dokazivanja teorema možemo proširiti na čitav niz inoviranih dokaza koji objedinjavaju većinu prethodnih. Zato Pitagorina teorema predstavlja jedan od najljepših primjera primjene geometrijskih poliformnih interpretacija. Ta raritetna dokazivanja počeću afinom verzijom Pitagorine teoreme

17) Papusova teorema: Nad stranicama AC i BC bilo kojeg trougla ABC konstruisani su (prema spoljašnjosti) paralelogrami s površinama i i neka je T tačka presjeka pravih na kojima leže paralelne stranice sa AC i BC. Ako se nad trećom stranicom AB konstruiše paralelogram čija je druga stranica paralelna i jednaka CT, a površina tog paralelograma P, tada je .

Dokaz 1

Treći paralelogram konstruisaćemo prema unutrašnjosti trougla ABC, jer je dokaz u tom slučaju trivijalan

slika 17

Tjemena i trećeg paralelograma leže na paralelnim stranicama prvih dvaju paralelograma, jer su , kao naspramne stranice tih paralelograma. Tada je

, jer paralelogrami i imaju istu osnovu , a naspramne im stranice i leže na istoj pravoj. Takođe je izistih razloga, jer imaju zajedničku osnovicu , a naspramne stranice i im leže na istoj pravi.

Slično postupajući sa drugim paralelogramom dobijamo da je jednaka površinipreostalog dijela paralelograma . Odakle je

vidi sliku 17.

Dokaz 2

Dokaz Papusove teoreme primjenom vektorskog proizvoda vektora: Lako je uočiti posmatrajući sliku18 da je:

slika 18


Apsolutna vrijednost zbira vektora u ovom slučaju jednaka je zbiru apsolutnih vrijednosti tih vektora, zato što se ovdje radi o vektorima i koji su istog pravca i smjera.

slika 19


D o k a z: 3

A sada pogledajmo kako se Papusova teorema može dokazati primjenom skalarnog proizvoda vektora. Neka su b i a dužine osnovica paralelograma, i jedinični vektori normalni na te osnovice, a vektori i vektori bočnih stranica tih paralelograma, tada je:

i jer su i visine koje respektivno odgovaraju osnovicama b i a tih paralelograma.


Kako su , i jedinični vektori respektivno normalni na stranice trougla , tj. na , i , prema spoljašnosti, tada je

zbog

pošto je , i

Ovo je očigledno jer translacijom vektora , i u zajedničku početnu tačku i rotiranjem za vektori , i prelaze redom u , i pa je

Kako je

i , , , i

, visina paralelograma površine

visina paralelograma površine to je

što je i trebalo dokazati, pogledaj sliku 19.

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.