Za prirodni broj kažemo da je djeljiv sa prirodnim brojem ( pišemo ) onda i samo onda ako postoji prirodni broj takav da je .

Broj je mjera (divizior, djelitelj) broja a koji je višekratnik (multiplum) broja .

Primjeri

( je djeljivo sa i iznosi bez ostatka),odnosno vrijedi

( je djeljivo sa i iznosi bez ostatka), odnosno vrijedi

nije djeljivo sa jer je i ima ostatak , odnosno vrijedi

Djeljivost je centralni pojam teorije prirodnih brojeva (aritmetika). Jedan od najvećih matematičara svih vremena, koji je i danas poznat kao kralj matematike,  Carl Friedrich Gauss (1777-1855), jednom je prilikom rekao:

"Matematika je kraljica nauka, a teorija brojeva je kraljica matematike."

Gaus je možda više nego bilo koji drugi matematičar u istoriji doprinio razvoju aritmetike, one iste za koju je na kraju napisao:

"Aritmetika je ipak preteška za mene!"

Definicija[uredi | uredi izvor]

Prirodan broj djeljiv je prirodnim brojem ako postoji prirodan broj takav da je . Ako je broj djeljiv brojem pisaćemo (čita se: b dijeli a).

Primer
  • jer je
  • jer
  • jer je .

Broj zovemo delitelj ili faktor broja

Kažemo da je pravi delitelj od ako i .

Jednostavni kriterijumi[uredi | uredi izvor]

Postoji nekoliko jednostavnih pravila za provjeru djeljivosti konkretnih brojeva sa kojima radimo često.

  1. Broj je djeljiv sa ako su mu jedna, dvije, tri, ... poslednje cifre nule.
  2. Broj je djeljiv sa ako su mu poslednje cifre djeljive datim brojem.
  3. Broj je djeljiv sa ako su mu poslednje cifre djeljive datim brojem.
  4. Broj je deljiv sa ako mu je zbir cifara djeljiv datim brojem.
Primjer
  • Broj je djeljiv sa jer su mu posljednje dvije cifre (nule)
  • Broj je djeljiv sa jer su mu posljednje dvije cifre deljive sa ()
  • Broj je djeljiv sa jer zu mu zadnje tri cifre djeljive sa (
  • Broj je djeljiv sa jer mu je zbir cifara deljiv sa ()

Postoji još nekoliko jednostavnih pravila koja ne koristimo svakodnevno. Zapisani broj, ako je dovoljno dugačak, možemo razdvojiti na klase (grupe uzastopnih cifara) sa jednakim brojem cifara. Brojeći sa lijeva u desno te klase će se nalaziti na parnim i neparnim pozicijama.

Broj je deljiv sa kada je razlika između zbira cifara (jednocifrenih klasa) koje stoje na neparnim i onih koje stoje na parnim mjestima djeljiva sa .

Primjer

Broj na neparnim mjestima ima cifre čiji je zbir , a na parnim zbira . Razlika ovih zbirova je , tj. broj djeljiv sa 1, početni broj je djeljiv sa .

Broj je djeljiv sa kada je razlika zbira dvocifrenih klasa koje u broju stoje na neparnim i parnim mjestima djeljiva sa .

Primjer

Broj ima zbirove klasa, na neparnim mestima , i na parnim , čija je razlika nula, tj. djeljiva je sa . Zato je početni broj djeljiv sa .

Broj je djeljiv sa kada je razlika između zbira trocifrenih klasa koje u broju stoje na neparnim mjestima i zbira trocifrenih klasa koje stoje na parnim mjestima djeljiva sa datim od brojeva.

Pprimjer

Broj ima razliku ovih klasa , pa je djeljiv sa , a nije deljiv sa .

Zadatak

Dokazati da je broj djeljiv svim prirodnim brojevima do broja zaključno.

Vrijednosti prve dvije zagrade lako izračunavamo i množimo

Zadatak

Dokazati da je za svaki broj broj djeljiv brojem 6. Od 3 uzastopna broja jedan je djeljiv sa 2 i jedan sa 3 sto znaći da je dati broj djeljiv sa 6

Dokaz matematičkom indukcijom

Za

Za

Neka za važi

za

Zadatak

Dokazati da je za svako n izraz djeljiv sa 6.

iz dobijenog izraza jasno je da je dati broj djeljiv sa 6.

Dokaz matematičkom indukcijom

Za

Neka važi za

Za

Algoritam dijelenja[uredi | uredi izvor]

Sljedeća teorema sadrži neke od najvažnijih osobina djeljivosti.

Teorema 1

Neka su a, b, c proizvoljni (prirodni) brojevi. Tada:

  1. ako i onda
  2. ako , onda je
  3. ako i , onda, za proizvoljne cijele brojeve važi
  4. ako i , onda je .

Dokaz

  1. ako je i , onda postoje brojevi i takvi da je , . To znači da je , pa .
  2. Ako , postoji broj takav da je . Neposredno slijedi .
  3. Ako je i , onda postoje brojevi , tako da je , . Otuda, . Dakle, .
  4. Iz pretpostavke , i iz (2) slijedi da je .
Posljedica 1
  1. Ako su a, b, c proizvoljni (prirodni) brojevi takvi da je i , tada i .
  2. Ako su u jednakosti , svi sabirci izuzev jednog djeljivi sa c, onda je i taj jedan djeljiv sa .

Algoritam dieljenja, ili teorema o djeljenju sa ostatkom, koja slijedi, je jedna od važnijih u teoriji brojeva:

Teorema 2

Za date (prirodne!) brojeve i , jednoznačno su određeni brojevi i , takvi da je , . Dokaz

Postoji bar jedan takav način predstavljanja broja .Kada izaberemo kao najveći sadržalac broja koji nije veći od . Pretpostavimo da postoji još jedan način, da je

Tada oduzimanjem dobijamo što znači da (posljedica 1a). Kako je => , tj. . Zatim da je .

Broj naziva se količnik a broj ostatak pri dijeljenju sa .

Algoritam dijeljenja se koristi u klasifikaciji brojeva.

Primer

kada za broj ( ) kažemo da je neparan ako , odnosno da je paran ako . Prost broj je onaj kome su jedini djelitelji i . Za prirodan broj koji nije prost kažemo da je složen.

NZD[uredi | uredi izvor]

Zajednički djelitelj brojeva i je (prirodan) broj ako je i .

Najveći zajednički djelitelj brojeva i je najveći od brojeva zajedničkih djelitelja. Označava se sa , ili , ali može i .

Uzajamno prosti brojevi , su oni za koje je . Uzajamno proste brojeve nazivamo i relativno prosti brojevi.

Primjer
  • .
Teorema 3

Najveći zajednički djelitelj dva (prirodna) broja je jedinstven.

Dokaz

Ako je i tada je dakle .

Teorema 4

Ako je najveći zajednički djelilac prirodnih brojeva i , onda postoje cijeli brojevi i takvi da je .

Dokaz

Posmatrajmo skup cijelih brojeva oblika , gdje . Izaberimo u njemu najmanji prirodan broj, recimo .

Dokažimo da i

Pretpostavimo da ne dijeli . Onda bi postojali takvi brojevi i da je .

Pa bi bilo , tj. prirodan broj bio bi manji od i pripadao bi skupu brojeva , što je u kontradikciji sa pretpostavkom da je najmanji.

Dokažimo sada da je najveći zajednički djelilac brojeva i , tj. da je Kako je . možemo pisati , pa imamo da je pa Zato što je najveći zajednični djelilac, biće tj.

Primjer

Najveći zajednički djelioci iz prethodnog primjera

  1. i imamo
  2. i
  3. i .

Najmanji zajednički djelilac brojeva možemo definisati i kao najmanji prirodan broj oblika . Pogledajmo na kraju još jednu teoremu koja se često koristi prilikom rješavanja (težih) zadataka aritmetike.

Teorema 5
  1. Ako je , onda je .
  2. Ako je i , onda je .
  3. Ako i pri tome su i uzajamno prosti brojevi, tj. , onda .
  4. Ako je , onda je .

Dokaz

(3) Pretpostavićemo da je 0, za radili bi jednako. Prvo primjetimo da povlači . Naime, broj dijeli brojeve i , pa dijeli i broj . Kako dijeli slijedi da da . Međutim, broj dijeli oba i , pa dijeli , dakle . Kako iz pretpostavke proizilazi , to iz posljednje dokazane jednakosti izlazi .

(4) Neka je . Tada c dijeli oba broja i , pa je , , odnosno , pa , tj. je zajednički djelilac brojeva i . Otuda dijeli . Stavimo , pa imamo , , , tj. dijeli . Dakle , te je .

Teorema 6

Dokaz

Prvi, odnosno drugi sa lijeva najmanji zajednički djelilac nazovimo , odnosno . Kako je dobijamo da i . Dakle, . Obratno, kako to je i pa je . Preme tome .

Euklidov algoritam[uredi | uredi izvor]

Euklidov algoritam služi za određivanje najvećeg zajedničkog djelitelja prirodnih brojeva :

Prema algoritmu jdelenja, jednoznačno su određeni brojevi i , i , takvi da je

...

je opadajući niz prirodnih brojeva manjih od , što znači da gore opisani postupak mora završiti poslije konačno mnogo dijelenja.

Teorema 7

gdje je posljednji pozitivan ostatak dobijen primjenom Euklidovog algoritma na prirodne brojeve , ,

Dokaz

Dokazaćemo da važe sledeća dva tvrđenja:

Zaista, iz posljednje jednakosti Euklidovog algoritma dobijamo da je

Na osnovu toga i pretposljednje jednakosti, zaključujemo da je . Nastavljajući taj postupak dobija se da je a onda iz prve jednakosti slijedi da je

Neka je prirodan broj takav da je i . Tada, iz prve jednakosti Euklidovog algoritma dobijamo da je , iz druge da je , ..., i konačno, iz pretposljednje, da je . Time je dokazano (. Dakle .

Primjer

Odredićem. Po Euklidovom algoritmu imamo:

,
.

Dakle, .

Na osnovu teoreme 6, zaključujemo da se višestrukom primjenom Euklidovog algoritma može dobiti najveći zajednički djelitelj više brojeva.

Reference

Vladimir Mićić, Zoran Kadelburg: "Uvod u teoriju brojeva", Društvo matematičara SR Srbije, Beograd, 1989.

Ratko Tošić, Vanja Vukoslavčević: "Elementi teorije brojeva", Alef, Novi Sad, 1995.

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.