Diofantska jednacina je algebarska jednacina s dvije ili vise nepoznatih s cjelobrojnim koeficijentima u kojoj se traze cjelobrojna ili racionalna rjesenja. Ime je dobila po Diofantu koji je prvi sistematski proucavao takve jednacine

Linearne diofantske jednacine[edit | edit source]

Diofantska linearna jednacina je jednacina oblika:

   gdje su a, b i c neki cijeli brojevi.

Primjer
Kako je x cio broj to je y djeljivo sa 3

odnosno

Teorema
  1. Diofantska jednacina , gdje su ,, cijeli brojevi ima cjelobrojna rjesenja ako i samo ako dijeli .
  2. Ako su i rjesenja te jednacine onda su sva rjesenja oblika
Rjesenje Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_0,y_0)} naziva se partikularno rjesenje diofantske jednacine. Op ste rjesenje je zbir partikularnog rjesenja i rjesenja homogene jednacine
Prema Beuzovoj teoremi postoji takvi da je
Primjer
Partikularno rjesenje je , a rjesenja pripadne homogene jednacine su ,
Rjesenja jednacine su parovi za
Za pronalazenje partikularnog rjesenje diofantske jednacine korististimo Euklidov algoritam pomocu kojeg odredjujemo cijele brojeve i za koje vrijedi gdje je , a zatim mnozenjem sa dobijamo partikularno rjesenje.
Primjer
pa je
1
U posljednju jednakost uvrstimo izraz za broj 5 iz pretposljednje jednakosti
tj.
Rjesenje date jednadnacine je
Primjer
Za prevoz neke robe raspolazemo vrecama od 40 kg i 60 kg. Koliko treba uzeti jednih, a koliko drugih da se prenese 500 kg robe
Zadatak cemo rijesiti Eulerovom metodom
za i
Rjesenja jednadcine su parovi ) gdje je i
Trazeni parovi ) su i

Nelinearne diofantske jednacine[edit | edit source]

Nepostoji univerzalna metoda rjesavanja ovih jednacina ali zato postoji niz metoda kojima rjesavamo neke specijalne tipove nelinearnih diofantskih jednacina Neke od tih metoda su:
  1. metoda faktorizacije
  2. metoda razlomka
  3. metoda posljednje cifre
  4. metoda kongruencije
  5. metoda zbira potencija s parnim eksponentima
  6. metoda nejednakosti

Metoda faktorizacije[edit | edit source]

Metoda faktorizacije sastoji se u tome da se jedna strana jednacine zapise u obliku proizvoda cjelobrojnih vrijednosti, pa uzimajuci u obzir drugu stranu jednacine posmatramo moguce slucajeve.

(
Ovo je moguce za
x-3 y+1
1 3
-1 -3
3 1
-3 -1

odnosno

x y
4 2
2 -4
6 0
0 -2

Metoda razlomka[edit | edit source]

Osnovna ideja ove metode slicna je kao kod metode faktorizacije, samo sto sada jednu stranu jednacine zapisujemo u obliku razlomka dviju cjelobrojnih vrijednosti, dok s druge strane jednacine imamo takodjer cjelobrojnu vrijednost. Zbog toga nazivnik tog razlomka mora dijeliti brojnik, sto nam daje klasifikaciju mogucih slucajeva. Spomenuti razlomak u praksi najcesce dobijemo tako da se jedna nepoznata izrazi kao racionalna funkcija druge.

Metoda poslednje cifre[edit | edit source]

Metoda posljednje cifre je podmetoda metode ostataka koja koristi ispitivanje ostataka pri dijeljenju brojem 10. Preciznije, razdvajanje slucajeva se vrsi posmatranjem zadnje cifre nekih dijelova jednacine, te njihovim uskladjivanjem.

Kvadrat cijelog broja zavrsava cifrom 0,1,4,5,6,ili 9, a broj sa 0 ili 5, pa zbir na lijevoj strani zavrsava

s 0,1,4,5,6, ili 9, a ne sa 3. Jednacina nema rjesenja.

Metoda kongruencije[edit | edit source]

neparan a paran pa je neparan
Jednacina nema rjesenja jer 1995 nije djeljivo sa 4

Metoda zbira potencija s parnim eksponentima[edit | edit source]

Metoda zbira je slicna metodi faktorizacije, samo sto sada jednu stranu jednacine zapisujemo u obliku zbira (najcesce nenegativnih) cijelih brojeva, te dalje diskutujemo slucajeve koji mogu nastupiti.

Metoda nejednakosti[edit | edit source]

Ova metoda se cesto koristi da bi se smanjio skup mogucih rjesenja date jednacine, a zatim se na tom smanjenom skupu razlikuju slucajevi, a zatim se na tom smanjenom skupu razlikuju slucajevi. Metoda nejednakosti se cesto koristi i u kombinaciji s nekom drugom metodom za rjesavanje nelinearnih diofantskih jednacina

za
za
Jednacina ima samo jedno rjesenje

Pellove i pellovske jednacine[edit | edit source]

Neka je zadana jednacina
Uredjenu trojku (x,y,z) koja zadovoljava zadanu jednacinu nazivamo Pitagorina trojka
Ako su brojevi x y z relativno prosti onda je to primitivna Pitagorina trojka
U svakoj primitivnoj Pitagorinoj trojci tacno je jedan od brojeva , neparan. Za ,

parne nebi se radilo o primitivnoj Pitagorinoj trojci

Diofantska jednacina oblika
gdje je i nije potpun kvadrat je Pelova jednacina.
Pelova jednacina ima beskonacno mnogo rjesenja u skupu prirodnih brojeva. Ako pronadjemo najmanje (osnovno) rjesenje , preostala rjesenja mozemo generisati na sljedeci nacine
i za i

i

Jednacina
je Pellovska jednacina.

Za razliku od Pellove jednacine ova jednacina nema uvijek cjelobrojno rjesenje

Erdős–Strausova hipoteza[edit | edit source]

Hipotezom je pretpostavljeno da za sve prirodne brojeve postoji racionalni broj koji se moze iskazati kao zbir tri jedinicna razlomka s pozitivnim, cjelobrojnim nazivnicima kako slijedi:
Primjer
za , postoji rjesenje jednacie gdje je , i .
Pomnozimo li obe strane jednacine s , nalazimo Diofantsku jednacinu oblika:

--Marsovka Marsic (razgovor) 08:21, februar 21, 2016 (KSV) Kategorija:Algebra Kategorija:Teorija brojeva Kategorija:Elementarna algebra

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.