Dijagonalna matrica

Kvadratna matrica kod koje su svi elementi izvan glavne diagonale jednaki nuli je dijagonalna matrica odnosno ako važi $d_{i,j} = 0 \text{ if } i \ne j\ \forall i,j \in \{1, 2, \ldots, n\}$

Dijagonalna matrica ima oblik $D=\begin{bmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_{22} & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & d_{nn} \end{bmatrix}$

Primjer

Dijagonalna matrica je

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & -2\end{bmatrix}$

Pojam dijagonalna matrica ponekad se može odnositi na pravouglu dijagonalnu matricu. Ovdje su $d_{ij} =0$ i $d_{ii} \ne 0$

Primjer

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0\\ 0 & 0 & -3\\ 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} ili \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 4 & 0& 0 & 0\\ 0 & 0 & -3& 0 & 0\end{bmatrix}$

Mi ćemo razmatrati samo kvadratne matrice. Svaka kvadratna dijagonalna matrica je simetrična matrica. Jednodimenzionalna matrica je uvijek dijagonalna.

Skalarna matrica[]

Ako je $A=[a\,\delta_{ij}]$ ,tj. ako je matrica dijagonalna i ako su joj elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki onda je to skalarna matrica

$\begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix} \equiv \lambda \boldsymbol{I}_3$

Označavanje[]

Dijagonalna matrica čiji su elementi $a_1, a_2,...a_n$ na glavnoj dijagonali označava se sa $diag(a_1,..., a_n$

Matrix operacije[]

Operacije sa dijagonalnim matricama su jednostavne.

sabiranje $diag(a_1,..., a_n) + diag(b_1, ..., b_n) = diag(a_1 + b_1, ..., a_n + b_n)$

množenje $diag(a_1, ..., a_n) * diag(b_1,..., b_n) = diag(a_1b_1, ..., a_nb_n)$

Diagonalna matrica $diag(a_1, ..., a_n)$ je invertabilna ako su elementi $a_1, ..., a_n)$ različiti od nule.

$diag(a_1, ..., a_n)^{-1} = diag(a_1^{-1}, ..., a_n^{-1})$ .

Osobine[]

Dijagonalna matrica je simetrična $D=D^T$

$detD=a_{11}a_{22}..a_{nn}$

$D_{ij}=\begin{cases}0,&i\ne j;\\ \prod\limits_{i=1}^{n-1}d_{ii},&i=j.\end{cases}$

Inverzna matrica dijagonalne matrice je

$D^{-1}=\begin{bmatrix} d_{11}^{-1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_{22}^{-1} & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & d_{nn}^{-1} \end{bmatrix}$

Primjeri[]

nula matrica

$~0=\mathrm{diag}\,\{0,0,\dots,0\}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 0 \end{bmatrix}$

jedinična matrica

$E=\mathrm{diag}\,\{1,1,\dots,1\}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 &\cdots & 1 \end{bmatrix}$

Dijagonalna matrica

$\operatorname{diag} \left(1,3,5\right)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

ima vrijednosti

$\lambda_1=1,\; \lambda_2=3,\; \lambda_3=5$

sa odgovarajućim vektorima

$e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad e_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Dijagonalna matrica

$\operatorname{diag} \left(0,0\right)= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

ima vrijednosti

$\lambda_{1,2}=0$

sa odgovarajućim vektorima

$e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Neka je data matrica

$M = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1/3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1/2 \\ \end{bmatrix}$ .

U odnosu na glavnu dijagonalu označava se sa $M = diag (3, 1/3, -1, 1/2)$

Njena inverzna matrica je

$M^{-1} = \begin{bmatrix} 1/3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Stepenovana na n-ti stepen

$M^n = \begin{bmatrix} 3^n & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1/3^n & 0 & 0\\ 0 & 0 & (-1)^n & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1/2^n \\ \end{bmatrix}.$

njena determinanta je

$\mbox{det}(M) = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1/3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1/2 \\ \end{vmatrix}=3\times \tfrac 13 \times (-1)\times \tfrac 12 = -\tfrac 12$