Johan Bernuli je 1696. godine postavio jedno interesantno pitanje bratu Jakobu:

“ Koja je ta kriva kojom ce tijelo uz uticaj gravitacione sile stici od tacke A do nize tacke B za najkrace vrijeme?”

Cikloida 5.jpg

Zadatak su od grcke rijeci brachistochrone (koje znaci najkrace vrijeme), nazvali Brahistokronovim problemom. Kod rjesavanja problema dosli su i do zakljucka, da kad pustimo tijelo iz bilo koje tacke ove krive, tijelu ce uvijek trebati istovremeni period da bi stiglo do najnize tacke te krive. Jakob je tacno odgovorio : “Rjesenje je cikloida! “

Jedna od najpoznatijih krivi u istoriji matematike je cikloida. Cikloidu je prvi proucavao de Kusu, kasnije Mersen. Kriva je dobila ime po Galileju 1599. godine. On je pokusao da odredi povrsinu ispod jednog luka, ali bezuspjesno. Matematicki metod nije uspio da pronadje, te je izrezao komadice metala u obliku povrsine ispod cikloide i uporedjivao tezinu sa tezinom kruga koji generise cikloidu. Dosao je do rezultata da je cikloida teza oko tri puta od kruga, ali je on odbio da prihvati ovaj rezultat jer je vjerovao da odnos izmedju ove dvije tezine, treba da bude iracionalan. Ispostavilo se da je Galilejev eksperimenat zaista dao tacan rezultat.

Roberval je 1628. godine odredio povrsinu cikloide koristeci novi metod “beskonačno malih”, koji je razvijen od strane Kavalijerija , Ferma i Dekarta, kao i Robervala, medjutim svaki od njih je pronasao drugaciji metod za povlacenje tangente na ovu krivu. Toriceli, ucenik Galileja je 1644. godine objavio svoje otkrice o povrsinama i tangentama cikloida.

Cikloida je, u tom dobu, bila jedna od najpopularnijih problema matematike, mnogi sporovi i ljubomore su nastale vezani za nju, zato je postala poznata po imenu “Helena geometricara”. U skladu sa Arhimedovom tradicijom, Hajgens, Lajbnic i Johan Bernuli su trazili posebne dojelove regiona cikloide cije su povrsine jednostavnog pravolinijskog oblika.

Cikloida 6.jpg

Ova slika ilustruje njihovu zajednicku stavku. Svaki cikloidni luk je opisan jednim pravougaonikom koji je prepolovljen po horizontalnoj srednjoj liniji, sa kotrljajucim krugom u centru.

Godine 1658. Hajgens je pokazao da dio cikloide odsjecen isprekidanom linijom na slici (a), koja prepolovljava gornju polovinu pravougaonika, ima povrsinu jednaku polovini upisanog pravilnog sestougla u kotrljajuci krug, ili ekvivalentno - jednaka povrsini osjencanog jednakostranicnog trougla upisanog u isti krug.

1678, Lajbnic je dokazao da segment cikloida na slici (b) ima istu povrsinu kao i osjencani pravougli trougao, ciji su kraci jednaki poluprecniku kruga.

1699, Bernuli je prosirio oba rezultata, koristeci dvije horizontalne isprekidane linije, jednako udaljene od srednje i gornje linije kao sto je na slici (c) i (d).

On je dokazao da je povrsina segmenta cikloida na slici (c) zbir povrsina dva osjencana pravougla trougla, dok je manji segment cikloide na slici (d) predstavlja razliku povrsina pravouglih trougla. Dijagram na slici (c) se pojavljuje na naslovnim stranicama sva cetiri toma sabrana djela Bernulija.


Kinematicki metod opisivanja krive potice iz mehanike, a opisuje krivu kao putanju po kojoj se krece tacka koja slijedi odredjene zakone fizike.

Cikloida.jpg

Data kruznica r poluprecnika a, koja se kotrlja po x osi. Tacka sa njene periferije pri tom kotrljanju opisuje cikloidu.

Neka je tacka O (koordinatni pocetak) pocetni polozaj tacke A (na slici M) koja opisuje cikloidu

t je ugao za koji se kruznica obrnula ( na slici )

a je poluprecnik kruznice (na slici obiljezen sa r)

Vazi, jer je kotrljanje bez klizanja.

Za pretpostavljeni polozaj tacke A, koordinate su

E je tacka koja je na slici obiljezena sa N.

Sa slike vidimo da vazi

Odakle se dobijaju parametarske jednacine cikloide

.

Jedan svod cikloide je dio krive koju posmatrana tacka opisuje sa jednim obrtajem kruga.

Teorema 1

Duzina luka jednog svoda cikloide je 8a, gdje je a poluprecnik kruga.

Dokaz

Cikloida 4.jpg





Duzina luka krive je


Teorema 2

Povrsina ogranicena jednim lukom cikloide i osom Ox je gdje je a poluprecnik kruga.

Dokaz


Cikloida 2.jpg




Neka je


Teorema 3

Zapremina tijela nastalog rotacijom jednog luka cikloide oko ose Ox je , gde je a poluprecnik kruga.

Dokaz

Cikloida 3.jpg






tj

Duzina luka (bez integrala)

U pravilnom n-uglu, svaki od odsjecaka sa precnikom kruga D odredjuju pravougli trougao upisan u polukrug. Tada jedan od ostrih uglova pravouglog trougla jednak je:

Ugao je ugao izmedju stranice i tangente na opisane kruznice. Duzina isjecka je

Ciklogon 5.jpg






pa je


Kako je

i koristeci

imamo

)

Kinematika tacke

Parametar nije vrijeme nego ugao

C je centar diska ( tacka koja se krece pravolinjski)

R poluprecnik diska

Jednacina cikloide u ovoj varijanti je

Cikloida 10.jpg

Zbog kotrljanja bez klizanja duzina duzi jednaka je duzini kruznog luka sto je

Brzinu odredjujemo preko prvog izvoda

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.