Ni jedan simbol u matematici nije izazvao toliko znatizelje i cudjenja kao broj Grcko slovo koristi se u matematici kao simbol kojim obiljezavamo odnos izmedju obima kruga i njegovog precnika. Ako pogledamo unazad, kroz vijekove, tesko je odrediti granicu od koje počinje pominjanje ove konstante. Cinjenica da je odnos obima i precnika kruga konstantan bila je poznata toliko dugo da je to nemoguce pratiti.
Priča o broju pokazala se kao najprofesionalnija, najozbiljnija strana matematike. Iznenadjuje izrazito velik broj potvrdjenih matematickih veličina koje su direktno ili indirektno povezane sa ovim brojem. Tako je vremenom postao dio ljudske kulture i obrazovane moci.
Ako pokusamo da pratimo izracunavanje ovog broja kroz vijekove bavit cemo se istorijom matematike. Provesti ce nas kroz geometriju, analizu, numericku analizu, algebru i teoriju brojeva.
Vjekovima su matematicari pokusavali da tacno, do poslednje decimale, izracunaju broj . Sada znamo da taj broj ne moze tacno da se izracuna i to ne zbog nemogucnosti danasnjih racunara vec zbog posebne osobine ovog broja.

Osobine[uredi | uredi izvor]

π je iracionalan broj; to jest, ne može se napisati kao odnos dva cijela broja. Ovo je dokazao Johann Heinrich Lambert 1761. godine, tj on je transcendentan, sto je dokazao Ferdinand von Lindemann 1882. godine. To znaci da ne postoji netrivijalan polinom sa racionalnim koeficijentima, ciji je korijen.

Vazna posljedica transcedentnosti ovog broja je činjenica da nije konstruktibilan. Ovo znaci da je nemoguce izraziti koristeci samo konacan broj cijelih brojeva, razlomaka, i nad njima cetiri osnovne i operaciju kvadratnog korjenovanja. Ovo dokazuje da nije moguce izvrsiti kvadraturu kruga: nemoguce je konstruisati (koristeci samo lenjir i sestar) kvadrat cija je povrsina jednaka povrsini datog kruga. Razlog je taj da su, polazeci od jedinicnog kruga i tacke na njemu, koordinate svih tacaka koje se mogu konstruisati koristenjem lenjira i sestara konstruktibilni brojevi.

Geometrija[uredi | uredi izvor]

se pojavljuje u dosta formula u geometriji koje se ticu krugova, elipsi, valjaka, kupa i lopti.

Geometrijski oblik Formula
obim kruga poluprecnika r i precnikaа d
Povrsina kruga poluprecnika r
Povrsina elipse sa poluosama a i b
Zapremina lopte poluprecnika r
Povrsina vanjskog dijela lopte poluprecnika r
Zapremina valjka visine H i poluprecnika r
Površina vanjskog dijela valjka visine H i poluprečnika r
Zapremina kupe visine H i poluprecnika r
Povrsina kupe visine H i poluprecnika r

Takodjer, ugao od (u stepenima) iznosi ; radijana.

Analiza[uredi | uredi izvor]

Dosta formula u analizi sadrzi , ukljucujuci predstavljanja u obliku beskonacnog reda (i beskonacnog proizvoda), integrale i takozvane specijalne funkcije.

Ovaj cesto navođeni beskonačni red najcesce se pise u gornjem obliku, dok je tehnički ispravan zapis:
i, uopste, je racionalniproizvod broja za svako prirodno n.
  • Povrsina jedne cetvrtine jedinicnog kruga:

Kompleksna analiza[uredi | uredi izvor]

Verizni razlomak[uredi | uredi izvor]

; ima puno predstavljanja u obliku veriznih razlomaka, kao sto je naprimjer:

Teorija brojeva[uredi | uredi izvor]

Neki rezultati iz "Teorije Brojeva":

Vjerovatnoca da su dva slucajno izabrana cijela broja uzajamno prosta je  . Vjerovatnoca da je slucajno izabran cijeli broj beskvadratan je . U prosjeku, broj nacina da se dati prirodan broj napise kao zbir dva savrsena kvadrata (redosljed sabiraka je bitan) je .

Ovdje, "vjerovatnoca", "prosjek" i "nasumican" su uzeti u smislu granicene vrijednosti, tj. posmatra se vjerovatnoca odgovarajuceg dogadjaja u skupu brojeva , a zatim uzima granicna vrijednost te vjerovatnoce kada {N→∞} ({N} je "jako veliko").

Dinamicki sistemi/Ergodicka teorija[uredi | uredi izvor]

U teoriji dinamickih sistema (vidi takodjer ergodicka teorija), za skoro svako realno x0 u intervalu [0,1],

gdje su xi iterirane vrijednosti logistickog preslikavanja za r = 4.

Fizika[uredi | uredi izvor]

U fizici, pojava broja π; u formulama је najčešće stvar dogovora i normalizacije. Na primjer, korištenjem uproščene Plankove konstante može se izbjeći pisanje broja π; eksplicitno u velikom broju formula u Kvantnoj mehanici. Zapravo, uprošćena varijanta je i bezicnija, a prisustvo faktora ; u formulama koje koriste h moze se smatrati naprosto uslovljenom uobicajenom definicijom Plankove konstante.

Vjerovatnoca i statistika[uredi | uredi izvor]

U vjerovatnoci i statistici postoji puno raspodjela, ciji analitički izrazi sadrže uključujući:

Treba primjetiti da se, kako je, za svaku Funkciju gustine raspodjele vjerovatnoće f(x), pomocu gornjih formula moze dobiti jos integralnih formula za π;.

Zanimljiva empirijska aproksimacija broja zasnovana je na problemu Bufonove igle. Posmatrajmo opit u kojem se igla duzine L baca na ravan na kojoj su oznacene dvije paralelne prave na medjusobnom rastojanju S (gdje je S>L). Ako se igla na slucajan nacin baci veliki broj (n) puta, od kojih se x puta zaustavi tako da sijece jednu od pravih, onda pribliznu vrijednost broja mozemo dobiti koristenjem formule

Istorija broja pi[uredi | uredi izvor]

Na listi detaljnih opisa velikog hrama Solomona, izgradjenog oko 950 godine pne pojavljuje se . To nije sasvim tacna vrijednost i nije cak ni tacna za vrijeme u kom je zapisana, jer su u to vrijeme Egipcani i Mesopotamci vec znali da ima vrijednost od . Doduse u odbranu Solomonovim zanatlijama treba primjetiti da su pojedini predmeti, koji su opisani, bili takvog oblika da veliki stepen geometrijske preciznosti nije bio moguc, niti neophodan.
U Egiptu postojala je potreba navodnjavanja i organizovane poljoprivredne proizvodnje. Ova potreba bila je veliki podsticaj za razvoj matematike. Iz sacuvanih papirusa saznajemo da su imali razvijene sisteme za racunanja i odgovarajucu simboliku. Vjesto su baratali sa razlomcima.
Najpoznatiji sacuvani papirus je Rindov papirus iz otprilike 1650. godine pne, pokazuje da su Egipcani prilikom racunanja povrsina i zapremina oblih figura koristili za broj .
Pisao ga je pisar Ahmes ali on nije bio i autor ovog matematickog spisa. Ahmes je napisao: Oduzmite precnika a nad ostatkom konstruisite kvadra. On ce imati istu povrsinu kao krug.
U Ahmesovom papirusu za izracunata je priblizna vrednost . Greska je na drugoj decimali.
U staroindijskom djelu "Salvasutra" data su matematicka pravila za koja se znalo u to vrijeme. Tu se nalaze neke interesantne aproksimacije pomocu osnovnih razlomaka, kao sto je( u nasoj simbolici)
Baudhajan je uzeo kao vrijednost za ,
Ariabhata (oko 530 godine) što je jednako .
Euclid of Alexandria govorio je za krug da je to linija, t.j. duzina bez sirine. On u svom XII dokazu ukazuje na postojanje broja “Odnos kruznog obima i kruznog precnika isti je kod svih krugova.”
Mi pretpostavljamo da je on znao da je vece od 3 i manje od 4 ali to nije naveo.
Arhimed sa Sirakuze dobio je priblizno da je . Ako uzmemo aritmeticku sredinu njegovih dviju granica dobicemo , grešku je .
Arhimed je zasluzan za prve dvije decimale broja ,
Pisac sacuvanih komentara “9 knjiga” Liu Hui nasao je pomocu upisanih i opisanih mnogouglova da je
Tsu Ch’ung Chi dao je racionalnu aproksimaciju za koja je tacna do 6 decimalnih mjesta. On je dokazao . Ovo je fantastican rezultat ali nemamo vise podataka. Njegova knjiga, koju je napisao njegov sin, je izgubljena.
Claudius Ptolemy dobio je pribliznu vrednost za
Ovu vrijednost objavio je u svom “Velikom zborniku”, jednom od najvecih djela rimskog aleksandrijskog perioda, koji je jos poznatiji pod arapiziranim nazivom “Almagest"
AbuJa'far Muhammadibn MusaAl-Khwarizmi ostace zapamcen po tome sto je slucajno dao svoje ime algoritmu, dok je rijec ‘aljabar’ koja se javlja kao naslov jedne njegove knjige preteca danasnje rijeci algebra. U algebri ovog starog arapskog matematicara o izracunavanju obima kruga citamo: “Najbolji nacin je da se precnik pomnozi sa . To je najbrzi i najlaksi nacin. Alah zna za bolje.”
Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi u julu 1424 godine on je objavio “Raspravu o obimu kruga”, rad u kome je izracunao do devet decimala u sistemu brojeva cija je osnova 60 (sistemu koji su za zapis brojeva koristili stari Vavilonci, a koji je i do danas opstao u upotrebi pri izrazavanju vremena i mjerenju uglova). Ako njegov racun prevedemo na dekadni sistem zapisa brojeva vidimo da je vrijednost bila izrazena sa 16 decimalnih mjesta.
François Viète nikad nije bio profesionalni matematicar. Tokom 1592 godine on se bavio problemima tadasnjih tvrdnji da se moze izvrsiti kvadratura kruga, podjela ugla na tri dela i konstrukcija kocke duplo vece zapremine u odnosu na datu, koriscenjem samo lenjira i sestara. Objavio je knjigu “Supplementum geometriae” (1593), u kojoj se bavi opisom ova tri klasicna matematicka problema, ali i pokazuje konstrukciju tangente u svakoj tacki Arhimedove spirale. U ovoj knjizi, on je izracunao do 10 decimale koristeci poligon sa 6*216 = 393216 stranica. On je predstavio u vidu beskonacnog proizvoda,to je, kako je danas poznato, najranije predstavljanje broja kao beskonacnog. Izrazen u našoj simbolici ovaj proizvod izgleda ovako:
Adriaan van Roomen jedan od njegovih najinpresivnijih rezultata bio je izracunavanje broja sa 16 decimalnih mjsta. On je to uradio 1593 godine koristeći 230 -stranicni poligon. Roomen-ovo interesovanje za bilo je direktna posljedica njegovog prijateljstva sa Ludolph van Ceulen-om.
Ludolph van Ceulen postao je slavan zbog njegovog izracunavanja broja sa 35 decimalnih mjesta, do koga je dosao koristeci poligon sa 262 stranica. Proveo je veci dio svog zivota racuunajuci i zato ne cudi istorijski podatak da je 35 decimala broja ugravirano na njegovoj nadgrobnoj pločc u crkvi St. Peter’s Church u Lajdenu. Poznato je da je u Njemackoj broj p dugo zvan Ludolfov broj, upravo njemu u cast.
Wallis-ova formula, kojom je on utvrdio da se broj moze priblizno predstaviti pomocu beskrajnog proizvoda
Gottfried Wilhelm von Leibniz njegovi engleski prijatelji, pricali su mu o Merkatorovoj kvadraturi hiperbole jedan od kljuceva koji je posluzio Njutnu pri pronalasku diferencijalnog racuna. Na temelju toga Leibniz je pronasao metodu beskonačcnih redova, koju je razvio. Jedan od njegovih pronalazaka je formula
Ova formula nije praktican nacin izracunavanja vrednosti , ali je upadljiva jednostavna veza izmedju i svih neparnih brojeva.
James Gregory radio je kao bibliotekar u Univerzitetskoj biblioteci.U svom radu” Geometrijski radovi “ukazao je na cinjenicu sta mozemo izracunati. Na taj nacin je uveo nizove u izracunavanje broja . Njegov niz za , otkriven 1671 godine,daje za

Racunanje broja pi pomocu Heronovog trougla[uredi | uredi izvor]

Trougao kome su stranice i povrsina cijeli brojevi zove se Heronov trougao. Pomocu ovog  trougla moze se priblizno izracunati broj . Za tu svrhu koristicemo funkciju tangens i njezinu osobinu da za jako male vrijednosti argumenta x vrijedi

Trougao pomocu kojeg ga racunamo ima stranice , i Heron ga spominje svom djelu "Metrika". Pomocu Heronove formule

  za  

Koristeci kosinusnu teoremu

i formulu

Koristeci formule

dobijamo

Zbog

imamo

Ove relacije pomnozimo sa 2, zatim redom sa 37, 27 i 24, a onda saberemo.

tacna vrijednost

--Marsovka Marsic (razgovor) 17:32, februar 15, 2016 (KSV)

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.