Broj e je matematička konstanta. Naziva se još i  Eulerov broj ili Napierova konstanta. To je baza prirodnog logaritma i jedan je od najznačajnijih brojeva u savremenoj matematici. On je iracionalan, irealan, transcendentan. Iznosi:

Broj definiše se kao:

  1. Limes niza brojeva
  2. Zbir beskonačnog niza:
    gdje je
  3. Pozitivna vrijednost koja zadovoljava sljedeću jednačinu:
  4. Ovaj broj se sreče i kao dio Eulerovog identitetа:

Istorija

Američki matematičar Benjamin Pierce đelio je pronaći rješenje jednačine:

Ispisao je ovu jednačinu na ploču ispred svojih kolega i rekao:

„Gospodo nemam pojma što ova jednačina znači, ali mogu biti siguran da ona predstavlja nešto vašno.“

Grčki matematičar Apolonije u svojoj drugoj knjizi O Konikama, u dvanaestoj propoziciji iznosi sljedeći i teorem:

Ako od tačke hiperbole povučemo linije tako da spojimo asimptote, proizvod tih udaljenosti je nezavisan o izboru tačaka na krivoj. Poseban slučaj je kada je hiperbola pravougaonik ako su x i y udaljenosti možemo pisati

U Eutocijusovom komentaru Arhimedove knjige Sfere i cilindri nailazimo na raspravu o klasičnom problemu umetanja dvije srednje vrijednosti omjera između dviju zadanih dužina. U jednom od rješenja, koje nosi oznaku ut Menaechmus imamo jednačine

Pokušao je naći tačke presjeka parabole i hiperbole.

Gregoire de St.Vincent je 1647 godine objavio djelo Prologomena a Santo Vincento, Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni.

On opet kreće od pravougle hiperbole date formulom

ako na x osi uzmemo n ekvivalentnih pravougaonika čije su baze

svaka njegova gornja stranica se nalazi na krivoj

tada imamo jednačine

pa slijedi

iz toga slijedi

Važnost ove jednačine rano je prepoznata zbog svoje veze s logaritmima, koje se temelje na odnosu aritmetičkog i geometrijskog niza.

Ako asimptotu hiperbole podijelimo u dijelove poštujući geometrijsku sredinu i krečući se od tačke presjeka ordinata, a paralelno se udaljavajući od druge asimptote.

Tako čemo prostor između asimptote i krive podijeliti na jednake dijelove, a uzimajući zbirove tih dijelova dobijamo aritmeticku sredinu koja je analogna sistemu logaritama

Nizozemski matematicar i fizicar Christiaan Huygens upoznaje i dalje razrađuje rad St.Vincenta.

On posmatra područja omeđena osom x i područje koje je omeđeno asimptotom, krivom i ordinatom. Ta dva područja završavaju kada je vrijednost ordinate 1.

Huygens sada brojnik i nazivnik dijeli sa 32 što mu omogućuva pronaci 32 korijen od svakog područja a sve kako bi bolje aproksimirao vrijednost od logaritma.

Na takav način uspijeva dobro aproksimirati logaritam

Huygens 1661 koristi još jednu krivu koja više lići krivoj eksponencijalne funkcije.

Ova kriva ima osobinu da ordinati odgovara tačka na pola puta između dvije tačke na osi x ,a istovremeno je jednako udaljena od ose ordinata.

Njena jednačina glasi

On razrađuje

konstanta subtangente iznosi

Ove naučnike koji su se bavili odnosom logaritama i područja hiperbole nije zanimala baza logaritma.

Matematičar John Napier je otkrio logaritme na način da je posmatrao odnose između aritmetičkog i geometrijskog niza.On je prvi uočio da se geometrijski niz sastoji od uzastopnih potencija nekog broja.

Nicholas MercatorOvaj njemački matematičar 1668 objavljuje zanimljiv članak u kojem isto tako analizira područje ispod krive na način da uzima područje od do

On dijeli x os na n jednakih dijelova a svaki je dužine . Apscise tada iznose 1, , ,…, a odgovarajuće ordinate su

tako dobija mala pravougla područja. Na kraju je dobio formulu.

Nazivamo je Mercatorova formula i Tajlorov red.

Leonhard Euler je razvio broj e na sljedeći nacin

ko je možemo uzeti a pa je onda .

Ako pretpostavimo da će biti vrlo mali tada možemo pisati

ako je infinitezimalno mali i i jako veliki broj, možemo pisati pa onda imamo

Kako je vrlo veliki mozemo pretpostaviti da je pa tada imamo

za

Za , koji je baza za Briggsov logaritam, i to uvrstimo u predhodnu Eulerovu jednačinu dobijemo vrijednost od koja iznosi

Za prirodni logaritam uzimamo , slijedi aproksimacija od broja

Najbolja aproksimacija broja slijedi iz limesa kao granične vrijednosti beskonačnog niza

Francuski matematičar Charles Hermite daje 1874 strogi matematički dokaz da je broj transcedentan.

Gelfondova konstanta

Gelfondova konstanta nazvana je po Aleksandru Osipovichu Gelfondu, je

Euler identitet, imamo

Gelfondova konstanta je transcendentalni broj. Decimalni zapis je

Kvadrat Gelfondove konstante


Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.