Apolonijev  problem kruznice  koja  dodiruje tri zadane kruznice sastoji se u konstrukciji te kruznice. Ovaj problem je poslednji od deset, gde se trazi ista konstrukcija ako su zadate

3 tacke

2 tacke i prava

tacka, prava i kruznica; itd.

Dva od tri problema je resio Euklid, a ostale Apolonije. Samo njegovo djelo o tom problemu nije sacuvano pa ne znamo tacno kako ga je rjesio. Jedino zahvaljujuci Paposu koji pominje to djelo, znamo da je ono postojalo. Tim problemom su se bavili i mnogi matematicari kao sto su Viete u XVI vijeku, Njutn u XVII vijeku. Sa pretpostavkom da su zadate tri kruznice koje leze jedna van druge, obelezene brojevima I, II, III, onda postoji 8 mogucih resenja:

I, II, III unutar trazene kruznice

I, II unutar trazene kruznice, a III izvan trazene kruznice

I, III unutar trazene kruznice, a II izvan trazene kruznice

II, III unutar trazene kruznice, a I izvan trazene kruznice

I unutar trazene kruznice, a II, III izvan trazene kruznice

II unutar trazene kruznice, a I, III izvan trazene kruznice

III unutar trazene kruznice, a I, II izvan trazene kruznice

I, II, III izvan trazene kruznice

1.jpg

Da bi dosli do trazene konstrukcije zadatak cemo pojednostaviti tako sto cemo traziti onu kruznicu koja prolazi kroz zadatu tacku i dodiruje dvije zadate kruznice. Ako se rijesi ovaj zadatak, onda se jednostavnom konstrukcijom (sl. 1, sl. 2) moze rijesiti problem u cjelini.

Smanjimo li najmanju od zadatih kruznica na tacku, i smanjimo tj. povecamo za njen poluprecnik r poluprecnike preostalih kruznica, dobijamo jednostavan problem. Rjesenje tog problema je kruznica, ciji se poluprecnik razlikuje od poluprecnika trazene kruznice, i to za r.

Izvodimo nekoliko pomocnih stavova:

2.jpg

STAV 1 Potencija tacke T s obzirom na kruznicu k jednaka je

To znaci da je za sve sjecice iz tacke T proizvod odsjecaka od tacke T do presjeka sjecice i kruznice konstantan i jednak kvadratu duzine tangente iz tacke T do dodira sa kruznicom.

Taj proizvod se zove potencija tacke T s obzirom na kruznicu k.

Obrnuto iz

dobijamo da je C tacka dodira kruznice i prave koja prolazi kroz tacke T i C.

3.jpg


STAV 2

Konstrukcija kruznice koja dodiruje kruznicu k, a sadrzi tacke A i B.

dokaz:

Konstruisemo kroz tacke A i B bilo kakvu kruznicu , koja sijece kruznicu k u dvije razne tacke R i S. Zajednicka skecica kroz R i S sijece pravu, odredjenu tackama A i B u T.

Konstruisemo tangentu t iz tacke T na kruznicu k. Ona mora biti ujedno i tangenta trazene kruznice i to zato sto je:

(D ATS ~ D BTR),

pa D mora biti tacka dodira tangente t i kruznice koja sadrzi tacke A i B pa je stoga trazena kruznica

4.jpg

STAV 3

Prava koja sadrzi tacke dodira kruznice sa kruznicama i i prolazi kroz srediste slicnosti kruznica i .



Algebarski nacin rjesavanja problema


7.jpg

Data su tri kruga , i . Apolonijev problem se sastoji u tome sto treba konstruisati lenjirom i sestarom sve moguce krugove k koji dodiruju sva tri kruga , i . Jedan od mogucih resenja dat je na slici 8. Koristeci se prethodnim znanjima, pokazacemo sve moguce krugove k, konstruisane lenjirom i sestarom. Ako je dat krug sa centrom , poluprecnika i k sa centrom O i poluprecnika r, postoje tri mogucnosti pod kojima se dva kruga dodiruju:



8.jpg

krugovi se dodiruju sa spoljne strane i imaju zajednicku tangentu, tada vazi:

9.jpg





krugovi se dodiruju sa unutrasnje strane tj. krug lezi unutar kruga k, tada vazi:


krugovi se dodiruju sa unutrasnje strane tj. krug k lezi unutar kruga k1, tada vazi:








Krace receno, krugovi k i k1 se dodiruju ako i samo ako:

Da bi ovo povezali sa algebrom, uzecemo centre da su

pa je

Sada se moze postaviti Apolonijev problem. Krug k dodiruje sva tri kruga ako svaka od jednakosti:



sadrzi + ili - u svakoj jednakosti. Ovdje, za svaku od osam mogucnosti izbora znaka, imamo sistem od tri jednacine sa tri nepoznate x, y, r. Nas problem je kako rijesiti ove jednacine lenjirom i sestarom ako rjesenje postoji.


Iz prve jednakosti dobijamo

gdje su koeficijenti brojevi koji se mogu nacrtati.

Slicno dobijamo i za druge dve jednakosti:

Ako oduzmemo prvu jednakost od druge i trecu od druge dobicemo

gdje se svi koeficijenti mogu nacrtati, pri cemu se razlikuju od prethodnih brojeva. Sada mozemo izraziti resenja za x i y u zavisnosti od r, pri cemu smatramo da su i konstantni clanovi.

Pa je


tj

Zamjenimo li x i y u jednakosti

dobijamo


Ovakvu jednacinu mozemo rjesiti lenjirom i sestarom kako bi nasli r, a tada mozemo nacrtati i x i y, sto rjesava nas problem. Mozemo primjetiti da ako je bilo koji problem algebarski nemoguc, onda je problem geometrijski nemoguc.


10.jpg

Na primjer, ako su tri kruga koncentricna onda ne postoji krug koji dodiruje sva tri. Razliciti oblici Apolonijevog problema se mogu rjesiti na isti nacin. Ako pretpostavimo, na primjer, da zelimo da konstruisemo sve krugove k koji prolaze kroz tacku i dodiruju kruznice i , za rjesenje cemo staviti samo da je i rjesava se na isti nacin kao u prethodnom slucaju

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.