U univerzalnoj algebri, grani čiste matematike, algebarska struktura se sastoji od jednog ili više  zatvorenih skupova u odnosu na jednu ili više operacija, koji zadovoljavaju neke aksiome. Apstraktna algebra se prvenstveno bavi proučavanjem algebarskih struktura i njihovih osobina.

Apstraktno, algebarska struktura je kolekcija svih mogućih modela datog skupa aksioma. Konkretnije, algebarska struktura je bilo koji pojedinačan model nekog skupa aksioma. Na primjer, monstrum grupa  ujedno jeste algebarska struktura u konkretnom smislu, i apstraktno, ima strukturu grupe zajedničku sa svim ostalim grupama.

Važne algebarske strukture uključuju  polugrupe monoide, grupe, prstene, neasocijativne algebre, asocijativne algebre, tijela (napose komutativna tijela ili polja), Liejeve algebre, rešetke, Boolove algebre, koalgebre, algebre, bialgebre, Hopfove algebre; danas se tu pridružuju i mnoge druge kao što su koprsteni, operadi, graduirani prsteni, hiperprsteni, dg-algebre (diferencijalne graduirane algebre), dg-koalgebre, A-beskonačno algebre, monoidi u monoidalnoj kategoriji, Leibnizove algebre itd. Male kategorije također su algebarske strukture.

Algebarske strukture opisuju se popisom operacija (tzv. signatura) i aksiomima koji se zahtijevaju za te operacije. Svaki skup s istim popisom operacija i koji zadovoljavaju dane aksiome je „model“ te strukture. Time algebra kao disciplina postaje dio teorije modela, koja može uključivati i složenije aksiomatske sustave od algebarskih.

Uvod[uredi | uredi izvor]

Sabiranje i množenje na nekom skupu brojeva predstavlja kombinovanje dva elemenata skupa da bi dobili treći. Ove algebarske operacije pokrivaju nekoliko algebarskih zakona

Primjer

Asocvijativnost

(a+b)+c= a+(b+c) i (ab)c=a(bc)

komutativnost

a+b=b+a i ab=ba

Mnogi proučavani sistemi imaju operacije koje pokrivaju neke, ali ne obavezno sve, zakone obične aritmetike. Na primer, rotacije objekata u trodimenzionalnom prostoru mogu se kombinovati obavljanjem prve rotacije i zatim primjenom druge rotacije na objekt u svojoj novoj orijentaciji. Ova operacija na rotaciji podudara se sa asocijativnim zakonom, ali ne mora važiti komutativni zakon.

Matematičari daju imena skupovima sa jednom ili više operacija koje pokrivaju određenu grupu zakona i proučavaju ih u apstraktnom obliku kao algebarske strukture. Kada se može pokazati da novi problem prati zakone jedne od ovih algebarskih struktura, svi radovi koji su u prošlosti dokazani u toj kategoriji mogu se primijeniti na novi problem

Community content is available under CC-BY-SA unless otherwise noted.