1+1+1+...

1 + 1 + 1 + 1 + · · možemo pisati $\sum _{n=1}^{\infty }n^{0}$, $\sum _{n=1}^{\infty }1^{n}$, i $\sum _{n=1}^{\infty }1$ je divergentan red. To znači da niz parcijalnih suma ne konvergira do neke granice u skupu realnih brojeva.

Niz $1^{n}$ možemo posmatrati kao geometrijski red sa zajedničkim odnosom $1$. Za razliku od drugih geometrijskih redova  sa racionalnim odnosom (osim $-1$), ne konvergira u skupu realnih brojeva

U kontekstu proširene linije realnog broja

$\sum _{n=1}^{\infty }1=+\infty \,,$

jer se njen niz parcijalnih suma povećava monotono bez granica.

Gdje se zbir $n^0$ javlja u fizičkim aplikacija, ponekad može da se tumači od zeta funkcija regulisanja. To je vrijednost na $s=0$ Rimanove zeta funkcije.

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,,$

Gore navedene formule ne važe za nulu. Međutim, kako jedna mora da koristi analitički nastavak Rimanove zeta funkcije,

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,$

dobijamo

$\zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}\!$

gdje ekspanzija snage niza za $\zeta(s)$ oko $s=1$ prati jer $\zeta(s)$ ima jednostavan pol ostataka jednog tamo. U tom smislu $1+1+1+1+....=\zeta (0)=-1/2$[1]

Dekartovom koordinantnom sistemu

Dekartov koordinantni sistem

U Dekartovom koordinantnom sistemu funkcija $\ f(x)=\sum _{n=1}^{x}n^{0}$ sadrži iste tačke kao funkcija $\ f(x)=x$

Za $\ x>0$

Funkcija $\ f(x)=k\sum _{n=1}^{x}n^{0}$ predstavlja linije u I kvadrantu za $:\ k\geq 0$

Funkcija $\ f(x)=k\sum _{n=1}^{x}n^{0}$ predstavlja linije u IV kvadrantu za $\ k\leq 0$ .

Za $x<0$:

Funkcija $\ f(x)=k\sum _{n=1}^{-x}n^{0}$ predstavlja linije u II kvadrantu $\ k\geq 0$ .

Funkcija $\ f(x)=k\sum _{n=1}^{-x}n^{0}$ predstavlja linije u III kvadrantu za $\ k\leq 0$ .

Demonstracija zbira

$\sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=1}^{m}n-\sum _{n=0}^{m-1}n$

$\sum _{n=1}^{m}n^{0}=m$

$\sum _{n=1}^{m}n={\frac {m(m+1)}{2}}$

$\sum _{n=0}^{m-1}n={\frac {m(m-1)}{2}}$

$\sum _{n=1}^{m}n^{0}={\frac {m(m+1)}{2}}-{\frac {m(m-1)}{2}}={\frac {m}{2}}(m+1-m+1)={\frac {m}{2}}(2)=m$

${\frac {m(m+1)}{2}}={\binom {m+1}{2}}$ što je trouglasti broj koji je otkrio Gauus

Formule

Razlika između zbirova

$\sum _{n=1}^{m}n-\sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=0}^{m-1}n$

Za $\ m=1,2$

$\ m=1$

$\sum _{n=1}^{1}n-\sum _{n=1}^{1}n^{0}=\sum _{n=0}^{0}n$ koji odgovara

$\sum _{n=1}^{1}1-\sum _{n=1}^{1}1=\sum _{n=0}^{0}0=1-1=0$ što znači $\ 0=0$

$\ m=2$

$\sum _{n=1}^{2}n-\sum _{n=1}^{2}n^{0}=\sum _{n=0}^{1}n$ koji odgovara

$\sum _{n=1}^{2}1+2-\sum _{n=1}^{2}2=\sum _{n=0}^{1}1=3-2=1$ što znači $\ 1=1$

Formule koje se odnose na razliku

$\sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=1}^{m}n-\sum _{n=0}^{m-1}n$

možemo dobiti slične

$\sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=0}^{m-1}n-\sum _{n=-1}^{m-2}n$

$\sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=-1}^{m-2}n-\sum _{n=-2}^{m-3}n$

$\sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=-2}^{m-3}n-\sum _{n=-3}^{m-4}n$

za $\ m=1,2$:

$\sum _{n=1}^{1}n^{0}=\sum _{n=0}^{0}n-\sum _{n=-1}^{-1}n=\sum _{n=1}^{1}1=\sum _{n=0}^{0}0-\sum _{n=-1}^{-1}-1$ što znači $\ 1=0+1$ odnosno $\ 1=1$ .

$\sum _{n=1}^{2}n^{0}=\sum _{n=0}^{1}n-\sum _{n=-1}^{0}n=\sum _{n=1}^{1}2=\sum _{n=0}^{2}1-\sum _{n=-1}^{0}-1$ što znači $\ 2=1+1$ odnosno $\ 2=2$

$\sum _{n=1}^{1}n^{0}=\sum _{n=-1}^{-1}n-\sum _{n=-2}^{-2}n=\sum _{n=1}^{1}1=\sum _{n=-1}^{-1}-1-\sum _{n=-2}^{-2}-2$ što znači $\ 1=-1+2$ odnosno $\ 1=1.$

$\ 1=1$ $\sum _{n=1}^{2}n^{0}=\sum _{n=-1}^{0}n-\sum _{n=-2}^{-1}n=\sum _{n=1}^{2}2=\sum _{n=-1}^{0}-1-\sum _{n=-2}^{-1}-3$ što znači $\ 2=-1+3$ odnosno $\ 2=2$ .

$\sum _{n=1}^{1}n^{0}=\sum _{n=-2}^{-2}n-\sum _{n=-3}^{-3}n=\sum _{n=1}^{1}1=\sum _{n=-2}^{-2}-2-\sum _{n=-3}^{-3}-3$ što znači $\ 1=-2+3$ odnosno $\ 1=1$

$\sum _{n=1}^{2}n^{0}=\sum _{n=-2}^{-1}n-\sum _{n=-3}^{-2}n=\sum _{n=1}^{2}2=\sum _{n=-2}^{-1}-3-\sum _{n=-3}^{-2}-5$ što znači $\ 2=-3+5$ odnosno $\ 2=2$

Opšta formula koja se odnosi na razliku

$\sum _{n=1}^{m}n^{0}=\sum _{n=-k+1}^{m-k}n-\sum _{n=-k}^{m-(k+1)}n$

$\ k=0,1,2,3,...$ na skupu $\mathbb{N}$.

Formule koje se odnose na proizvod

$\sum _{n=1}^{m+1}n^{0}\cdot \prod _{p=1}^{m}({\frac {p}{p+1}})=1$

$\sum _{n=1}^{m+1}n^{0}=m+1e\prod _{p=1}^{m}({\frac {p}{p+1}})={\frac {1}{m+1}}$

kad pomnožimo dobijemo $\ m+1\cdot {\frac {1}{m+1}}=1$

$\sum _{m=1}^{s}(\sum _{n=1}^{s+1}n^{0}\cdot \prod _{p=1}^{s}({\frac {p}{p+1}}))=\sum _{n=1}^{s}n^{0}$

Izvor

https://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/